mathe 发表于 2008-1-31 18:13:02

这个不是很难，自己慢慢想一想吧

chenzi 发表于 2008-1-31 18:28:55

我个人感觉核心的问题是如何解决三角形BDE

三角形BDE中包含了线段BE还包含了角ABD，所以我认为是最关键的，问题是否应该用三角运算确定线段ED的长度。

chenzi 发表于 2008-1-31 18:32:13

哦，我知道了，谢谢

BD'垂直AF，AB=BF

guetsxjm 发表于 2008-1-31 20:24:51



如图：过A作AF垂直AB交BC的延长线于F，交圆O于D，BD交AC于E‘；
由三角形ABC为等边三角形，容易得知: BC=AC=CF,即C为BF的中点；
连接CD，有CD垂直AD，故CD平行AB，CD为三角形ABF的中位线；
由相似三角形，有AE' = 2BE'，即E'与E共点；
连接OD，有角AOD=120°，从而弧AD三分圆周，命题得证；

kofeffect 发表于 2008-2-1 13:40:30

由相似三角形，有AE' = 2BE'，即E'与E共点；
-------------------------------------------------------------------------
应该是：由相似三角形，有AE' = 2CE'，故E'与E共点

另：guestsxjm方法比较简单易懂，但不给我想象的空间，mathe的是给我一个追寻的方向:)

mathe 发表于 2008-2-1 15:16:29

其实我给的是我的解题思路，而不是证明过程。
假设结论成立，那么必然有角ACD是60度，所以AB平行CD,
所以BE:ED=AE:EC=2:1
看到这个数据，让我想起了重心，然后就试一试看能够构造一个三角形以E为重心，辅助线就出来了。
有了这些信息，证明就不难了

chriswang 发表于 2008-4-21 17:43:49

圆心o，连接点C和D，容易证明角AOD=120度

jx215 发表于 2009-4-3 20:07:37

觉得可以用解析法证明:

以A为原点建立直角坐标系，设圆O半径为r（O为圆心），各点坐标分别为A（0，0），O（r，0），E（4r/3，0），B（2r，0），C（r，√3r）
可联立方程组求出直线CED方程：
Y=-3√3X+4√3r
圆O方程为（X-r）^2+y^2=r^2
将直线方程代入可求出D点坐标为（3r/2,-√3r/2）,另一个解舍去，因为D点在第四象限。
连接圆心O与D点，求出直线方程为y=-√3X+√3
斜率tanθ=-√3即θ=120度，圆心角AOD=120度
所以弧AD为弧ABD长度的一半，得证。

hujunhua 发表于 2010-5-23 12:56:41

这题可用位似法直接做，比较简捷。也可用位似法+同一法，稍绕点弯，也简单。

以E点为位似中心作△ABC的位似形△BOF,因为AE=-2BE，所以位似比为-2, 故O为圆心，F=D。余略。

geslon 发表于 2010-5-27 00:22:05

不用那么复杂吧。BC交圆于D'，易证ED'B相似于ECA，而ED'B全等于EDB.
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