级数化积分

倪举鹏 发表于 2014-3-27 15:31:18

sum(cos(k*ln(n))/sqrt(n), n = 1 .. infinity)
这个级数可以化为积分再求解么，我想让sum(cos(k*ln(n))/sqrt(n), n = 1 .. infinity)=0再求解K的值

Buffalo 发表于 2014-3-27 15:50:08

$\D\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\cos (k \ln n)}{\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{ik \ln n}+e^{-ik \ln n}}{2\sqrt{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^{ik}+n^{-ik}}{2\sqrt{n}}=\frac12\Bigg(\zeta\bigg(\frac12-ik\bigg)+\zeta\bigg(\frac12+ik\bigg)\Bigg)$，$\zeta(z)$是黎曼$\zeta$函数

wayne 发表于 2014-3-28 09:08:37

楼上的还可以继续化简:
1/2 (Zeta + Zeta) = Re(Zeta) = sinh(RiemannSiegelTheta)
$\frac{1}{2} \left(\zeta \left(i k+\frac{1}{2}\right)+\zeta \left(\frac{1}{2}-i k\right)\right)=\text{Re}\left(\zeta \left(i k+\frac{1}{2}\right)\right)=\sinh(\vartheta (k))$

也即是RiemannSiegelTheta函数 $\vartheta (k)$的零点 ,得到 $k=+-17.845599540410860816826338412519097035693287433696$

wayne 发表于 2014-3-28 09:48:22

K值还有另一层内涵,第0个gram point
http://mathworld.wolfram.com/GramPoint.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann%E2%80%93Siegel_theta_function

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