葡萄糖 发表于 2014-4-26 16:50:40

是否存在这样的有理数

\(a\)是有理数，\(0＜a＜90\)，则\(a\)是什么时,\(\cos\frac{aπ}{180}\)是一个整系数二次方程的根？

gxqcn 发表于 2014-4-26 17:19:31

有，比如 \(a=60\)

mathe 发表于 2014-4-26 17:38:46

显然存在，而且应该只有有限个。

mathe 发表于 2014-4-26 17:45:35

以前利用切皮雪夫多项式证明过如果有理度数角的余弦是有理数，那么分母只能是1或2.
类似，如果是整系数二次多项式的根，那么二次项系数只能是1或2，常数项只能是1或-1，于是只有以下几种
$2x^2+kx+1,2x^2+kx-1,x^2+kx+1,x^2+kx-1$
其中k是任意整数。然后利用解绝对值不大于1就可以求出所有可能的情况

mathe 发表于 2014-4-26 17:55:00

有点弄错了，应该是2cos(t)必然是形如$x^2+kx+-1，x^2+kx+-2，x^2+kx+-3，x^2+kx+-4$的解，而且方程两个根绝对值都不超过2
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