圆锥曲线过定点弦定值问题的猜想
今天,我在书店看到了甘志国出版的新书《平面解析几何》中提到:一个猜想A:设\(\alpha\) 是已知的非零实数,对于圆锥曲线(指圆,椭圆,双曲线或抛物线)\(\varGamma\),若存在定点\(M(s,t)\) 使过点\(M\)能作曲线\(\varGamma\)的三条斜率存在的弦AB满足:
\(\frac{1}{|AM|^\alpha}+\frac{1}{|BM|^\alpha}\)为定值,则:
(1)\(\alpha=1\)或\(2\)
(2)定点\(M(s,t)\)在曲线\(\varGamma\)的对称轴上;
(3)过定点\(M(s,t)\)作曲线\(\varGamma\),的任一弦\(AB\)(包括斜率不存在的情形)也满足 \(\frac{1}{|AM|^\alpha}+\frac{1}{|BM|^\alpha}\)为定值(当曲线\(\varGamma\)是双曲线时,点\(A,B\)在双曲线同一支上)
一个猜想B:设\(\alpha\) 是已知的非零实数,对于圆锥曲线(指圆,椭圆,双曲线或抛物线)\(\varGamma\),若存在定点\(M(s,t)\) 使过点\(M\)能作曲线\(\varGamma\)的三条斜率存在的弦AB满足:
\(|\frac{1}{|AM|^\alpha}-\frac{1}{|BM|^\alpha}|\)为定值,则:
(1)\(\alpha=1\).
(2)曲线\(\varGamma\)是中心或焦点。
(3)过定点\(M(s,t)\)作曲线\(\varGamma\),的任一弦\(AB\)(包括斜率不存在的情形)也满足 \(|\frac{1}{|AM|^\alpha}-\frac{1}{|BM|^\alpha}|\)为定值(当曲线\(\varGamma\)是双曲线时,点\(A,B\)在双曲线两支上)
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