论坛 › 趣题妙解 › 分母有理化

zeroieme 发表于 2017-8-11 16:43:09

本帖最后由 zeroieme 于 2017-8-11 17:04 编辑

zeroieme 发表于 2017-8-10 21:27
麻烦你帮忙再算两个，我没装Maple，Mathematica用RootReduce也算不出。
\(-39270+7854 \sqrt{5}-2805\ 2 ...

那么结果代进6楼的代码第2行或者就用Maple算它们的倒数呢。


因为我目的就是如标题分母有理化 ;P

葡萄糖 发表于 2021-8-17 18:59:26

本帖最后由 葡萄糖 于 2021-8-17 19:54 编辑

葡萄糖 发表于 2014-5-10 12:31:46
\[\frac{1}{{\sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{4}}}=? \]


\begin{align*}
A&=(x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz)\\
B&=(x^2+y^2+z^2+2xy-xz-yz)\\
C&=(x^2+y^2+z^2+2yz-xy-xz)\\
D&=(x^2+y^2+z^2+2xz-xy-yz)\\
S&=(x^3 + y^3 + z^3)^3 - 27 x^3 y^3 z^3\\
\\
\dfrac{1}{x+y+z}&=\dfrac{ABCD}{S}
\end{align*}


\[\frac{1}{{\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c}+\sqrt{d}}}=? \]

问题是不是可以化归为求一个是「次数最低且以广义初等对称多项式构成的齐次多项式」

\begin{align*}
\sigma_1&=x^3+y^3+z^3+w^3\\
\sigma_2&=x^3y^3+x^3z^3+x^3w^3+y^3z^3+y^3w^3+z^3w^3\\
\sigma_3&=x^3y^3z^3+x^3y^3w^3+x^3z^3w^3+y^3z^3w^3\\
\sigma_4&=x^3y^3z^3w^3
\end{align*}
\begin{align*}
(x+y+z)\mid\,\!F(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4)
\end{align*}

葡萄糖 发表于 2021-8-24 09:52:30

本帖最后由 葡萄糖 于 2021-8-24 09:54 编辑

\begin{align*}
A_0&=x+y+z+w\\
A_1&=x^2+y^2+z^2+w^2+2xy-xz-xw-yz-yw-zw\\
A_2&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy+2xz-xw-yz-yw-zw\\
A_3&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy-xz+2xw-yz-yw-zw\\
A_4&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy-xz-xw+2yz-yw-zw\\
A_5&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy-xz-xw-yz+2yw-zw\\
A_6&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy-xz-yz-xw-yw+2zw\\
A_7&=x^2+y^2+z^2+w^2+2xy-xz-xw-yz-yw+2zw\\
A_8&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy+2xz-xw-yz+2yw-zw\\
A_9&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy-xz+2xw+2yz-yw-zw\\
A_{10}&=x^2+y^2+z^2+w^2+2xy+2xz-xw+2yz-yw-zw\\
A_{11}&=x^2+y^2+z^2+w^2+2xy-xz+2xw-yz+2yw-zw\\
A_{12}&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy+2xz+2xw-yz-yw+2zw\\
A_{13}&=x^2+y^2+z^2+w^2-xy-xz-xw+2yz+2yw+2zw
\end{align*}

\[\left\{\begin{aligned}
\sigma_1&=x^3+y^3+z^3+w^3\\
\sigma_2&=x^3y^3+x^3z^3+x^3w^3+y^3z^3+y^3w^3+z^3w^3\\
\sigma_3&=x^3y^3z^3+x^3y^3w^3+x^3z^3w^3+y^3z^3w^3\\
\sigma_4&=x^3y^3z^3w^3
\end{aligned}\right.\]

\begin{align*}
\color{black}{
\begin{aligned}
B(\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3,\sigma_4)&=\prod\limits_{\substack{
\xi_1,\,\xi_2,\,\xi_3\,\\
\in\left\{ 1,\omega,\omega^2\right\}}
}\left(a+\xi _1b+\xi _2c+\xi _3d \right)\\
&=\left({\sigma_1} ^3-27 {\sigma_3} \right)^3+2187 {\sigma_1} ^2 {\sigma_4}\left(2 {\sigma_1} ^3-9 {\sigma_1}{\sigma_2} +27 {\sigma_3} \right)
\end{aligned}}
\end{align*}

\[\dfrac{1}{A_0}=\dfrac{1}{B(\alpha,\beta,\gamma,\delta)}\prod\limits_{k=1}^{13}A_{k}\]

葡萄糖 发表于 2021-8-25 12:13:17

本帖最后由 葡萄糖 于 2021-8-25 12:23 编辑

葡萄糖 发表于 2021-8-24 09:52
\(\frac{1}{{\sqrt 2+ \sqrt{3}}}=?\)


\begin{align*}
t^6-6t^4-6t^3+12t^2-36t+1&=\left(t-\sqrt{2}-\sqrt{3} \right) \left(t-\sqrt{2}-\sqrt{3}e^{2\pi i/3} \right) \left(t-\sqrt{2}-\sqrt{3}e^{-2\pi i/3} \right)\\
&\qquad\times\left(t+\sqrt{2}-\sqrt{3} \right) \left(t+\sqrt{2}-\sqrt{3}e^{2\pi i/3} \right) \left(t+\sqrt{2}-\sqrt{3}e^{-2\pi i/3} \right)
\end{align*}

※※※※※
\(a^6-b^6=(a-b) (a+b) \left(a^2-a b+b^2\right) \left(a^2+a b+b^2\right)\)

zeroieme 发表于 2021-8-28 00:23:32

本帖最后由 zeroieme 于 2021-8-28 00:35 编辑

自己提的自己答

\(\frac{1}{2\ 561^{2/5}+2\ 16321^{2/5}+\sqrt{9156081}+\sqrt{5} \sqrt{9156081}}=-\frac{2\ 561^{3/5}-561^{2/5} \sqrt{16321}-\sqrt{5} 561^{2/5} \sqrt{16321}+\sqrt{561} 16321^{2/5}+\sqrt{5} \sqrt{561} 16321^{2/5}-2\ 16321^{3/5}}{63040}\)

\(\frac{1}{-39270+7854 \sqrt{5}-2805\ 2^{2/5} \sqrt{3} 7^{4/5}+1683\ 2^{2/5} \sqrt{3} \sqrt{5} 7^{4/5}-35\ 561^{4/5} \sqrt{16321}+21 \sqrt{5} 561^{4/5} \sqrt{16321}-30\ 2^{2/5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}+6\ 2^{2/5} \sqrt{5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}}=\frac{321568619715042419212714591907310055925337630883683120+63302928461775191256992284906676702659306663667627712 \sqrt{5}-213474851472325713323628426968470530100475885849094030\ 2^{3/5} 3^{4/5} \sqrt{7}-22606664223737806664751833445224134911112989612638178\ 2^{3/5} 3^{4/5} \sqrt{5} \sqrt{7}-265829018136917875158237041454411166860932684340389280 \sqrt{2} 3^{3/5} 7^{2/5}+2719011237756429169588910821451735253574842100339872 \sqrt{2} 3^{3/5} \sqrt{5} 7^{2/5}-131915700139822086353139365401464763019437339884314040\ 2^{4/5} 3^{2/5} 7^{3/5}-131004603226299970218760403103252487066488125558950584\ 2^{4/5} 3^{2/5} \sqrt{5} 7^{3/5}+59739141193346694877670307774149905576679040333782160\ 2^{2/5} \sqrt{3} 7^{4/5}+72750833634669330002898483576073274271786827344266576\ 2^{2/5} \sqrt{3} \sqrt{5} 7^{4/5}+1533569252529326582212938680671640559704188921600600\ 561^{4/5} \sqrt{16321}+1215416309593192148366939607439605383097960111804872 \sqrt{5} 561^{4/5} \sqrt{16321}+647582335320813936717857792613746711682613307825220\ 2^{2/5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}-31667257438729525117830574896294625177021925410332\ 2^{2/5} \sqrt{5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}-991466071913280263241298052025917761059607701911820\ 561^{3/5} 16321^{2/5}-1067611465363633233122204508864468891346803097605868 \sqrt{5} 561^{3/5} 16321^{2/5}-715616229554779280121534239323112642043308733710925\ 2^{4/5} 1309^{3/5} 16321^{2/5}-463668256142886956300533101939850652820353026704747\ 2^{4/5} \sqrt{5} 1309^{3/5} 16321^{2/5}-4010462056772537588382204531115357668998768291540\ 561^{2/5} 16321^{3/5}+284558303485023975193802585061798936573997128053272 \sqrt{5} 561^{2/5} 16321^{3/5}+2139091093976501804974653820606602962579598532148040 \sqrt{2} 1309^{2/5} 16321^{3/5}+1569079365215826227109317987706280284082091947347336 \sqrt{2} \sqrt{5} 1309^{2/5} 16321^{3/5}-579875053207237287791525220274219977026415056131985 \sqrt{561} 16321^{4/5}+217449598175239117388442725793285246526591136008617 \sqrt{5} \sqrt{561} 16321^{4/5}-4543301741811067321792758702676151368857867251878440\ 2^{3/5} \sqrt{1309} 16321^{4/5}-1059667137573210778281251233047869106218005647174864\ 2^{3/5} \sqrt{5} \sqrt{1309} 16321^{4/5}+1843446675155747484058724635103169173513884485604170\ 21^{2/5} 187^{4/5} \sqrt{32642}+542180272260927050283729171804972077297631051525126 \sqrt{5} 21^{2/5} 187^{4/5} \sqrt{32642}-441476608960331043212065622793041734124375606686880\ 21^{4/5} 187^{3/5} 32642^{2/5}-114307290302981459975127825549872879146386768118184 \sqrt{5} 21^{4/5} 187^{3/5} 32642^{2/5}+279529287525108553187062635726325203022540333136760 \sqrt{21} 187^{2/5} 32642^{3/5}-1015704545839808258669871329002827475703635456223304 \sqrt{5} \sqrt{21} 187^{2/5} 32642^{3/5}-177318630002716279744851702926952904217703343422660\ 21^{3/5} \sqrt{187} 32642^{4/5}+30836707714849707503965111587138553569604858697276 \sqrt{5} 21^{3/5} \sqrt{187} 32642^{4/5}-1220281635261054620859297962510967117974443366400460\ 7^{3/5} 374^{4/5} \sqrt{48963}-220447536906637444896656646895892570918910073646232 \sqrt{5} 7^{3/5} 374^{4/5} \sqrt{48963}-1880831680015761930636129279456611303509980992682240 \sqrt{7} 374^{3/5} 48963^{2/5}+191047480780011336602445505756207592680444807775136 \sqrt{5} \sqrt{7} 374^{3/5} 48963^{2/5}+160080263187606416781341885830340087625875270674175\ 7^{4/5} 374^{2/5} 48963^{3/5}+60417566618260333466002452327242117367796236574921 \sqrt{5} 7^{4/5} 374^{2/5} 48963^{3/5}-45559599048865608621611248167939239993459184001600\ 7^{2/5} \sqrt{374} 48963^{4/5}-293031291450713936440055599469436584236848987778208 \sqrt{5} 7^{2/5} \sqrt{374} 48963^{4/5}+1772689343865174054985458147638169491731056563523360\ 6^{3/5} 187^{4/5} \sqrt{114247}+55605060349890103982208442283034118701573699913056 \sqrt{5} 6^{3/5} 187^{4/5} \sqrt{114247}+1856064416479503432868010595814286728163226225899880 \sqrt{6} 187^{3/5} 114247^{2/5}+640237687831033836326561590924703421280405652309136 \sqrt{5} \sqrt{6} 187^{3/5} 114247^{2/5}+343418080506283564067472277546497640422780718085920\ 6^{4/5} 187^{2/5} 114247^{3/5}+118227299994326953818879255810375539275660217725816 \sqrt{5} 6^{4/5} 187^{2/5} 114247^{3/5}+95614924344156777818855724928792897672396685526580\ 6^{2/5} \sqrt{187} 114247^{4/5}-44211392476326775812421508992607684930087195202104 \sqrt{5} 6^{2/5} \sqrt{187} 114247^{4/5}}{4867401138331620291110283882345325449078159633282657770968500}\)

\(\frac{1}{39270+7854 \sqrt{5}+2805\ 2^{2/5} \sqrt{3} 7^{4/5}+1683\ 2^{2/5} \sqrt{3} \sqrt{5} 7^{4/5}+35\ 561^{4/5} \sqrt{16321}+21 \sqrt{5} 561^{4/5} \sqrt{16321}+30\ 2^{2/5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}+6\ 2^{2/5} \sqrt{5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}}=\frac{-321568619715042419212714591907310055925337630883683120+63302928461775191256992284906676702659306663667627712 \sqrt{5}+213474851472325713323628426968470530100475885849094030\ 2^{3/5} 3^{4/5} \sqrt{7}-22606664223737806664751833445224134911112989612638178\ 2^{3/5} 3^{4/5} \sqrt{5} \sqrt{7}+265829018136917875158237041454411166860932684340389280 \sqrt{2} 3^{3/5} 7^{2/5}+2719011237756429169588910821451735253574842100339872 \sqrt{2} 3^{3/5} \sqrt{5} 7^{2/5}+131915700139822086353139365401464763019437339884314040\ 2^{4/5} 3^{2/5} 7^{3/5}-131004603226299970218760403103252487066488125558950584\ 2^{4/5} 3^{2/5} \sqrt{5} 7^{3/5}-59739141193346694877670307774149905576679040333782160\ 2^{2/5} \sqrt{3} 7^{4/5}+72750833634669330002898483576073274271786827344266576\ 2^{2/5} \sqrt{3} \sqrt{5} 7^{4/5}-1533569252529326582212938680671640559704188921600600\ 561^{4/5} \sqrt{16321}+1215416309593192148366939607439605383097960111804872 \sqrt{5} 561^{4/5} \sqrt{16321}-647582335320813936717857792613746711682613307825220\ 2^{2/5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}-31667257438729525117830574896294625177021925410332\ 2^{2/5} \sqrt{5} 1309^{4/5} \sqrt{16321}+991466071913280263241298052025917761059607701911820\ 561^{3/5} 16321^{2/5}-1067611465363633233122204508864468891346803097605868 \sqrt{5} 561^{3/5} 16321^{2/5}+715616229554779280121534239323112642043308733710925\ 2^{4/5} 1309^{3/5} 16321^{2/5}-463668256142886956300533101939850652820353026704747\ 2^{4/5} \sqrt{5} 1309^{3/5} 16321^{2/5}+4010462056772537588382204531115357668998768291540\ 561^{2/5} 16321^{3/5}+284558303485023975193802585061798936573997128053272 \sqrt{5} 561^{2/5} 16321^{3/5}-2139091093976501804974653820606602962579598532148040 \sqrt{2} 1309^{2/5} 16321^{3/5}+1569079365215826227109317987706280284082091947347336 \sqrt{2} \sqrt{5} 1309^{2/5} 16321^{3/5}+579875053207237287791525220274219977026415056131985 \sqrt{561} 16321^{4/5}+217449598175239117388442725793285246526591136008617 \sqrt{5} \sqrt{561} 16321^{4/5}+4543301741811067321792758702676151368857867251878440\ 2^{3/5} \sqrt{1309} 16321^{4/5}-1059667137573210778281251233047869106218005647174864\ 2^{3/5} \sqrt{5} \sqrt{1309} 16321^{4/5}-1843446675155747484058724635103169173513884485604170\ 21^{2/5} 187^{4/5} \sqrt{32642}+542180272260927050283729171804972077297631051525126 \sqrt{5} 21^{2/5} 187^{4/5} \sqrt{32642}+441476608960331043212065622793041734124375606686880\ 21^{4/5} 187^{3/5} 32642^{2/5}-114307290302981459975127825549872879146386768118184 \sqrt{5} 21^{4/5} 187^{3/5} 32642^{2/5}-279529287525108553187062635726325203022540333136760 \sqrt{21} 187^{2/5} 32642^{3/5}-1015704545839808258669871329002827475703635456223304 \sqrt{5} \sqrt{21} 187^{2/5} 32642^{3/5}+177318630002716279744851702926952904217703343422660\ 21^{3/5} \sqrt{187} 32642^{4/5}+30836707714849707503965111587138553569604858697276 \sqrt{5} 21^{3/5} \sqrt{187} 32642^{4/5}+1220281635261054620859297962510967117974443366400460\ 7^{3/5} 374^{4/5} \sqrt{48963}-220447536906637444896656646895892570918910073646232 \sqrt{5} 7^{3/5} 374^{4/5} \sqrt{48963}+1880831680015761930636129279456611303509980992682240 \sqrt{7} 374^{3/5} 48963^{2/5}+191047480780011336602445505756207592680444807775136 \sqrt{5} \sqrt{7} 374^{3/5} 48963^{2/5}-160080263187606416781341885830340087625875270674175\ 7^{4/5} 374^{2/5} 48963^{3/5}+60417566618260333466002452327242117367796236574921 \sqrt{5} 7^{4/5} 374^{2/5} 48963^{3/5}+45559599048865608621611248167939239993459184001600\ 7^{2/5} \sqrt{374} 48963^{4/5}-293031291450713936440055599469436584236848987778208 \sqrt{5} 7^{2/5} \sqrt{374} 48963^{4/5}-1772689343865174054985458147638169491731056563523360\ 6^{3/5} 187^{4/5} \sqrt{114247}+55605060349890103982208442283034118701573699913056 \sqrt{5} 6^{3/5} 187^{4/5} \sqrt{114247}-1856064416479503432868010595814286728163226225899880 \sqrt{6} 187^{3/5} 114247^{2/5}+640237687831033836326561590924703421280405652309136 \sqrt{5} \sqrt{6} 187^{3/5} 114247^{2/5}-343418080506283564067472277546497640422780718085920\ 6^{4/5} 187^{2/5} 114247^{3/5}+118227299994326953818879255810375539275660217725816 \sqrt{5} 6^{4/5} 187^{2/5} 114247^{3/5}-95614924344156777818855724928792897672396685526580\ 6^{2/5} \sqrt{187} 114247^{4/5}-44211392476326775812421508992607684930087195202104 \sqrt{5} 6^{2/5} \sqrt{187} 114247^{4/5}}{4867401138331620291110283882345325449078159633282657770968500}\)

zeroieme 发表于 2021-8-28 00:49:46

总结，一次性处理并不明智。根号内的质数因子逐个消除，反而全部秒出结果。

葡萄糖 发表于 2022-12-11 16:11:05

\begin{gather*} \dfrac{1}{u+\sqrt{v}+\sqrt{w}}=\dfrac{\begin{pmatrix}   1\\   \sqrt{w} \\   \sqrt{w^2}\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}.\begin{bmatrix}\begin{pmatrix}   u^2+v & 2u \\-u & -1 \\1 & 0 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}   u^3+3uv+w & -\left(3u^2+v\right) \\-v \left(3u^2+v\right) & u^3+3uv+w \\ \end{pmatrix}\end{bmatrix}.\begin{pmatrix}   1 \\   \sqrt{v}\end{pmatrix}}{\left(u^3+3uv+w\right)^2-v\left(3u^2+v\right)^2}\end{gather*}

查看完整版本: 分母有理化