（一）一个广义定积分的值：
A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx=0（若用原函数求之，为不定型）(我在原先的帖子22楼 已经用非常简单的方法阐述了问题的本质，这个积分是不存在的，其值依赖于上下限的关系, 或者说，这是二重极限，极限值是路径相关的。既然楼主无视这种方法，用晦涩的公式去推导，那我们奉陪到底)
（二）普西函数的狄利克莱公式：
ψ(z)=∫(0,∞)-1e-x-x-1(1+x)-z]dx（ReZ＞0）(查了资料，没问题)
令z=1得
欧拉常数γ=-ψ(1)=(-1)∫(0,∞)-1e-x-x-1(1+x)-1]dx(查了资料，没问题)
=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx+∫(0,∞)-1(1+x)-1-(2x)-1]dx (∞ +(-∞), ???，行，让我们走走看)
=γ+∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx (出问题了，明明两个都是发散的，楼主却把第一个捣鼓成一个常数,发现楼主在下文单独拿出来证明，那我们继续走走看)
所以 A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx=0 得证(这结论下的太早了)
（三）欧拉常数γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx的证明：（Γ函数证法）
（1）(ε→+0)[Γ(ε)-1/ε]=-γ、 (ε→+0)[Γ(-ε)+1/ε]=-γ (在0处是解析的，没问题)
（2）(ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=-2γ (没问题)
（3）(ε→+0)[Γ(ε)+Γ(-ε)]=(ε→+0)[∫(0,∞)xε-1e-xdx+∫(0,∞)x-ε-1(e-x-1)dx] (1/ε抹掉就不解析了，他偷偷抹掉了,生生的让表达式在不解析的地方取极限,)
=∫(0,∞)(2x-1e-x-x-1)dx ( ???)
=-2γ
（4）γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx
注：①还有“黎曼ζ函数证法”，参见http://zuijianqiugen.blog.163.co ... 240622013921109818/
②用此法求之，相当于不定型的洛比塔法则。
③特悬赏十个金币，欢迎挑毛病。对脑子有毛病的人除外。
wayne 发表于 2014-6-2 09:11
“1/ε抹掉”？是何意？作为好友，望解释一下！
“1/ε抹掉”？是何意？作为好友，望解释一下！
抱歉，我的措辞有点模糊，既然你已经看完了，那我就不在原文改了，直接新开一贴。
(三)(3)第一行 等号左侧在0处是解析的，但在等号右侧，分别用定义式来代换是有问题的，因为各自的定义式都是在0处不解析的。
本帖最后由 zuijianqiugen 于 2014-6-2 20:21 编辑
wayne 发表于 2014-6-2 09:32
抱歉，我的措辞有点模糊，既然你已经看完了，那我就不在原文改了，直接新开一贴。
(三)(3)第一行 等号左 ...
我的导师讲了，下面的两个广义积分属于“不定型广义积分”，其计算方法很简单：
（1）A=∫(0,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx
=∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx+∫(1,∞)[(2x)-1-(1+x)-1]dx
将第二项积分取倒元变换得
A=∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx-∫(0,1)[(2x)-1-(1+x)-1]dx
=0
（2）γ=∫(0,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx
=∫(0,1)[(2x)-1-x-1e-x]dx+∫(1,∞)[(2x)-1-x-1e-x]dx
将第二项积分取倒元变换得
γ=∫(0,1)[(2x)-1-x-1e-x]dx+∫(0,1)[(2x)-1-x-1e-1/x]dx
=∫(0,1)(1-e-x-e-1/x)x-1dx=欧拉常数γ
在《数学手册》的定积分表中，都有这个欧拉常数公式。参见http://wenku.baidu.com/view/ece5aed0360cba1aa811da9f.html?pn=201(226页)
这个是反常积分。当积分不存在的时候，是不能随随便便做 t-> 1/t的变换的,因为没有数学理论保证其正确性.这个时候得老老实实回归到反常积分的定义，用极限来做。
反常积分的严格数学定义是： \(\displaystyle \int_a^{\infty}f(x)dx =\lim_{b\rightarrow \infty}\int_a^bf(x)dx\)
http://zh.wikipedia.org/zh-cn/反常积分
定义是源自极限而来的。当极限不存在的时候，这个倒数变换就变的毫无意义了。
你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以积分\(\int_0^{\infty}f(x) dx \)存在瑕疵点x=0。对于无穷和瑕疵，在没有证明积分之存在性之前，我们都只能用取极限的方式处理，即： \[\int_0^{\infty}f(x) dx = \lim_{a\rightarrow 0,b\rightarrow \infty}\int_a^{b}f(x) dx=\lim_{a\rightarrow 0,b\rightarrow \infty}\int_a^{b}\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x} dx \]
这个时候，对这种极限式子，你是可以用各种变量代换的，倒数变换当然欢迎了，你试试吧！
wayne 发表于 2014-6-2 22:40
你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以 ...
针对你提出的有关问题，李老师给我们几个硕士生在课堂上连续讲解了两个小时，并且还讲解了普西函数两大公式的变换方法。
wayne 发表于 2014-6-2 22:40
你要想扳倒我，你应该从这个角度入手：
由于 \(f(x)=\frac{1}{2x}-\frac{1}{1+x}\) 在x=0处存在奇点, 所以 ...
我的老师讲了，你在22#楼中的结论非常正确。本人特在该帖子中给予支持和嘉奖。
zuijianqiugen 发表于 2014-6-2 23:30
我的老师讲了，你在22#楼中的结论非常正确。本人特在该帖子中给予支持和嘉奖。
就是有一个问题你理解错了。积分的发散分为“定发散(积分值为∞)"和“不定发散(积分值不固定)”两大类。22#的积分是“不定发散”类，而你理解成了“定发散”。
zuijianqiugen 发表于 2014-6-2 23:39
就是有一个问题你理解错了。积分的发散分为“定发散(积分值为∞)"和“不定发散(积分值不固定)”两大类。2 ...
不行啊，你的思路还是没跟上我们的拍子啊。
1）我在那个主题的22#的推导怎么就被你解读成“定发散” 呢？你要不要再看一遍？
2）我在那个主题的24#的帖子，还有与kastin的对话，你是不是没看懂意思呢？
24#我发的帖子目的是为了特地澄清“定”和“不定”不是一码事，kastin则 立马补充说 不管定还是不定，统统都归为发散。
3） “定发散”和“不定发散” 没有这个术语吧，最好以后别再叫了，仅限内部交流。
4） 好心叫你加入我们的QQ群，你不加，我和kastin早就把这题目榨的一点营养都没有了！后面跟你纠缠那么多，主要是想直接分析你的思路，从而彻底结束你的敌对状态。