高考题目，有点困难

northwolves

已知： \(\D a\gt0,\ b\gt0,\ \frac1a+\frac1b=\sqrt{ab}\)
求： \(a^3+b^3\) 的最小值

wayne

有条件得知$ab>=2$,于是目标式$>=2*2^{3/2} =4\sqrt{2}$

northwolves

$3a+2b>6$又怎么证明？

northwolves

$3a+2b>=2*sqrt(6ab)>=4*sqrt(3)>6.8$?

kastin

2#正确。
调和平均不大于几何平均得到ab范围，然后几何平均不大于3次幂平均得到所求式的最小值。
补充一下2#的过程——
因为$$\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}} \leqslant \sqrt{ab}$$
根据条件有
$$\frac{2}{\sqrt{ab}} \leqslant \sqrt{ab}$$
于是`\sqrt{ab} \geqslant \sqrt{2}`
而
$$\sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}} \geqslant \sqrt{ab}$$
故
$$a^3+b^3 \geqslant 2\cdot 2^{\frac{3}{2}}$$
当且仅当`a=b=\sqrt{2}`时等号成立.

wayne

kastin 发表于 2014-6-8 14:44
2#正确。
调和平均不大于几何平均得到ab范围，然后几何平均不大于3次幂平均得到所求式的最小值。
补充一 ...

额，我没想那么多的过程，只是两次运用算术平均不小于几何平均：$\sqrt{ab}=1/a+1/b ={a+b}/{ab}>={2\sqrt{ab}}/{ab}$ ,所以  $ab >=2$,

于是， $a^3+b^3>= 2\sqrt{a^3*b^3} =2*\sqrt{2^3} =4\sqrt{2}$，两次放缩等号成立的条件是$a=b$,所以最小值可以娶到。

可能是我看到有“高考”两个字吧，于是觉得这题目肯定是常规思路，看到 条件是非齐次的，所以就试着变化了一下，发现不等式方向刚好对上目标式子，就over了，运气好。

cn8888

a+b=(ab)^(3/2)>=2(ab)^(1/2)得到ab>=2
a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)
=(ab)^(9/2)-3(ab)^(5/2)
f(ab)=(ab)^(9/2)-3(ab)^(5/2)
f'(x)=4.5*x^3.5-7.5x^1.5=x^1.5(4.5x^2-1)>=x^1.5*(4.5*2^2-1)>0
增函数
以下过程略
高中生也学过简单的微积分

mathe

如果已知$1/a+1/b=\sqrt(ab)$求$3a+2b$的最小值，结果挺复杂
我们变换已知条件为$(a+b)^2=(ab)^3$,根据拉氏乘数法得出存在u使得
$3-2u(a+b)+3ua^2b^3=0,2-2u(a+b)+3ua^3b^2=0$,消去u得出
$2(3a^2b^3-2(a+b))=3(3a^3b^2-2(a+b))$，联合前面条件化简得出
$6b^2-ab-9a^2=0$,于是$b/a=h={1+\sqrt(217)}/12$
于是$(1+h)^2a^2=h^3a^6$,于是$a=\sqrt(1+h)*h^{- 3/4},b=\sqrt(1+h)*h^{1/4}$
$min{3a+2b}=\sqrt(1+h)*(3h^{-3/4}+2h^{1/4})=6.9754...$

wayne

如果已知$1/a+1/b=\sqrt(ab)$求$3a+2b$的最小值

这个是非齐次的，所以不大可能用初高中的常规方法解决。
可以设$a=ub$,则$ b^4={(u+1)^2}/{u^3}$,目标式子就变成了单变量函数 $(3a+2b)^4 = (3u+2)^4 (u+1)^2/u^3>=\frac{2}{27} (15983+1085 \sqrt{217})$
所以\[3a+2b \ge \sqrt[4]{\frac{31966}{27}+\frac{2170 \sqrt{217}}{27}}=6.975716062...\]

我在好奇 mathe在楼上给的最后一个有效数字为啥不太对，该不会是手算的吧，

northwolves

原题第2问是$3a+2b=6$有没有解？为什么？