论坛 › 难题征解 › \(a^4+b^4+1=c^4\)有整数解吗?

数学星空 发表于 2014-7-23 22:16:27

Euler 曾猜想：丢番图方程\(x^4+y^4+z^4=w^4\) 无整数解
Ward 证明了当\(w<10^5\)时，Euler 猜想正确
Lander,Parkin和Selfridge 证明了当\(w<2.2\*10^6\)时，Euler 猜想正确

1983年，郑格于找到了方程 \(x^4+y^4+z^4=w^2\)的部份解：
\(x=a^4-b^4\)
\(y=2a^3b-2ab^3\)
\(z=2a^3b+2ab^3\)
\(w=(a^2+b^2)^4-4a^2b^2(a^2-b^2)^2\)

1988年，在日本京都大学主办的‘丢番图问题’会议上，Noam D.Elkies 利用椭圆曲线证明了
丢番图方程\(x^4+y^4+z^4=w^4\)有无数组整数解，并找到一组解
\

另外，对于丢番图方程\(x^4+y^4=z^4+w^4\)，可以构造参数解
\(x=a^7+a^5b^2-2a^3b^4+3a^2b^5+ab^6\)
\(y=a^6b-3a^5b^2-2a^4b^3+a^2b^5+b^7\)
\(z=a^7+a^5b^2-2a^3b^4-3a^2b^5+ab^6\)
\(w=a^6b+3a^5b^2-2a^4b^3+a^2b^5+b^7\)

cn8888 发表于 2014-7-25 11:37:38

数学星空 发表于 2014-7-23 22:16
Euler 曾猜想：丢番图方程\(x^4+y^4+z^4=w^4\) 无整数解
Ward 证明了当\(w

In:= x = 2682440; y = 15365639; z = 18796760; w = 20615673;
x^4 + y^4 - z^4 - w^4

Out= -249667481819905709909611520000

cn8888 发表于 2014-7-25 11:41:36

@hujunhua 我就是想用四次方做签名的,你很深入地洞察了人性!

manthanein 发表于 2017-1-25 20:09:15

http://math.stackexchange.com/questions/16887/does-the-equation-x4y41-z2-have-a-non-trivial-solution
八成没有

查看完整版本: \(a^4+b^4+1=c^4\)有整数解吗?