虫妈妈的毛毯
Q0:虫宝宝是一条长度为1的柔性线段,虫妈妈想要织一条毛毯,无论宝宝怎么躺着,都能够完全盖住它。为了省料,毛毯面积越小越好,问这个最小面积能达到多少?
抽象成数学模型,就是要求一个面积最小的平面区域Ω,长度为1的任意形状的曲线段都在Ω上画得出来。
可以想一些更简单的问题:
Q1:对于最简单的情况,即虫二舅的三角被问题。
虫二舅的身体没有虫宝宝那么柔软,可怜的他老到只能绕身体的中点弯折,他身体的前后两段已经成了长度为1/2的僵直线段。
他要一个三角形的被子来盖着他的身体(被子可以翻过来盖),那么这个三角被可以做到多小,什么形状? 虫二舅的毛毯如果限于三角形的话,应该是边长为1的正三角形的一半吧(沿一条高对分)。
虫二舅的三角毯
一个边长为1 的正三角形的1/3能够满足要求。从中心向两个顶点划线切割。 似乎在一个菱形范围内长对角线1,大角120度 参见:http://tieba.baidu.com/f?kz=193972532
$S=\frac{\sqrt{3}}{12}+\frac{\pi}{24}=0.27523726119698115939656400276214$
是目前得到的最优的可行解。
估计上面的圆弧还能继续削减一小部分,使得面积更小。 https://link.springer.com/article/10.1007/s00454-002-0774-3 链接里面使用了一个凹图形,将上界改进到0.260437
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可以想一下在空间的情况,需要最小多大的体才能装下任何长为1的空间曲线 还可以这样:这个虫子首尾相连,变成边界长为1的面,需要至少多大面积的图形覆盖所有周长为1的图形
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