多项式插值与函数拟合
一、多项式插值为了用$a+bx+cx^2$来拟合$(0,y_0),(1,y_1),(2,y_2)$这三个点，我们要解方程组
$$\begin{aligned}&a=y_0\\
&a+b+c=y_1\\
&a+2b+4c=y_2\end{aligned}$$
也就是
$$\begin{pmatrix}
1&0&0\\
1&1&1\\
1&2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
y_0\\
y_1\\
y_2\end{pmatrix}$$
其中的矩阵正是范德蒙矩阵。更高次数的时候是类似的。但是，我们通常不会去求解范德蒙矩阵的逆阵。我们有拉格朗日插值多项式和牛顿插值多项式。
我这里感兴趣的是牛顿插值多项式。
二、函数拟合
我想用$g(0),g(x),g(2x)$的线性组合来拟合函数$f(x)$，拟合的要求是关于$x$的零阶、一阶、二阶项是吻合的。为此，设
$$a g(0)+b g(x)+c g(2x)\approx f(x)$$
展开
$$g(x)=g(0)+g'(0)x+\frac{g''(0)}{2}x^2+...$$
那就是
$$\begin{aligned}& (a+b+c)g(0)=f(0)\\
&(b+2c)g'(0)=f'(0)\\
&(b+4c)g''(0)=f''(0)\end{aligned}$$
也就是
$$\begin{pmatrix}
1&1&1\\
0&1&2\\
0&1&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
f(0)/g(0)\\
f'(0)/g'(0)\\
f''(0)/g''(0)\end{pmatrix}$$
跟开始的多项式拟合是一样的，但是矩阵进行了转置。
现在我想提的问题是，后面的函数拟合，能不能找出类似牛顿多项式插值的公式？我在乎的是多拟合一阶、只需要在后面添加一项这个功能。
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