德州扑克各种打法的最佳策略
德州扑克有多种打法，其中最简单的就是荷官场打法，我们首先来研究一下这种打法。=====
荷官场打法只有$2$个玩家：我、荷官。
游戏开始时，我和荷官各随机分得$2$张底牌。
我的底牌可以看，荷官的底牌不能看。
接下来我要根据我的底牌做决定：
$1$、弃牌：输掉$1$块钱，游戏结束。
$2$、下注：把$3$块钱放到桌上，游戏继续。
接下来会开出$3$张公共牌，然后我要继续做决定：
$1$、看牌：游戏继续。
$2$、加注：把$1$块钱放到桌上，游戏继续。
接下来会开出第$4$张公共牌，然后我要继续做决定：
$1$、看牌：游戏继续。
$2$、加注：把$1$块钱放到桌上，游戏继续。
此时记桌面上的钱数为$k$块。
接下来会开出第$5$张公共牌，然后跟荷官比牌【注】，有$4$种结果：
$1$、我的牌大，并且是顺子或以上牌型：桌面上的钱归我，荷官另赔$k$块钱给我。
$2$、我的牌大，但不是顺子或以上牌型：桌面上的钱归我，荷官另赔$(k-1)$块钱给我。
$3$、双方的牌一样大：桌面上的钱归我。
$4$、荷官的牌大：桌面上的钱归荷官。
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问：
$1$、我方的最佳策略是什么？
$2$、这个游戏哪方有优势？优势有多大？
注：比牌规则可以看这张贴子http://bbs.emath.ac.cn/thread-2246-1-1.html
下载这个附件：
解压后就可以玩这个游戏了。
我打了$600$局左右，结果我方略微盈利。
由于游戏次数还不够多，该盈利没有统计显著性。
所以要通过精确的计算才能知道我的真实盈亏。 mark一下。
到时候再算算加大小王作为 wild card 的情况。。。 通过枚举所有可能的情况，该游戏的最佳策略已经求解出来了。
下载这个附件：
解压后运行Taxes.exe，然后按"Start"，就可以看到【我方牌型的优劣程度】和【最佳策略】了。
其中：
【我方牌型的优劣程度】是一个实数，表示当前牌型如果选择"Bet"，我方的期望盈亏是多少；
【最佳策略】是通过按钮下方的一个浅蓝色的单词标出，表示当前的最佳策略是选择哪个按钮。
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遗憾的是，通过精确的计算，结果是：
即使我方采取最佳策略，平均每局仍然要输给荷官$0.0203692434743...$块钱。
也就是说，我们费了这么大的劲去寻找这个游戏的最佳策略，
结果发现这是一个坑爹的游戏，连最佳策略都不管用:@
我们只会不断地把钱输给荷官，无法从荷官手里赢钱。
即使最初几百局侥幸赢了很多钱，但是只要玩的局数足够多，所赢的钱最终必会输光。 回复一下你 德州扑克第二简单的打法是All-in打法。
这种打法的规则就是要么弃牌，要么就把全部筹码压上。
我们接下来研究一下2个玩家的All-in打法的最佳策略。
以新手场为例，玩家最多带入400块钱。
游戏一开始，2个玩家都必须下注，一个玩家下注1块钱，另一个玩家下注2块钱。
然后下注1块钱的玩家先做决定。
如果他弃牌，那么这轮游戏就结束了，他只是输掉1块钱而已。
如果他不弃牌，就必须将400块钱全部压上，然后轮到下注2块钱的玩家做决定。
同样地，如果他弃牌，那么这轮游戏就结束了，他只是输掉2块钱而已。
如果他不弃牌，就必须将400块钱全部压上，然后大家摊牌比牌，
牌大的一方赢得全部筹码，牌小的一方输掉全部筹码。
如果打平，那么大家就平分筹码。
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这种打法的最佳策略已经通过程序求解出来了。
结论是：
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我方作为先手，如果拿到AA、KK、QQ、AK、同花AQ、同花AT、同花A5、同花A4，那么选择All-in；
如果拿到TT，以$20.0660%$的概率All-in；
如果拿到同花A3，以$2.7392%$的概率All-in；
其余情况选择放弃；
平均All-in概率为$3.8698%$。
我方作为后手，如果拿到AA、KK、同花AK，那么选择跟随；
如果拿到QQ，那么以$75.6939%$的概率跟随；
如果拿到异花AK，那么以$56.1953%$的概率跟随；
其余情况选择放弃；
平均跟随概率为$2.0577%$；
大家最终会摊牌比牌的概率为$0.079629%$，不到万分之八。
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求解过程如下：
下载这个附件，解压后就可以玩这个游戏了：
运行Taxes.exe，然后点击“Start”或“Auto Start”之后，牌局是自动进行的。
“Start”是自动进行$1$局，“Auto Start”是自动进行$1000000$局。
“Auto Start”自动进行的局数可以在auto_start.txt里设置。
在自动对局中，我方要All-in的牌在all_in.txt里设置，我方要弃的牌在fold.txt里设置。
手牌是用一个$0$到$337$的数字来表示的，每个数字表示什么手牌，可以在hands_interpretation.txt里查到。
records.txt会记录你的成绩和进行的局数。
KeyTo9_Fans'_records.txt则是本人亲测$1.6*10^11$局之后的记录。
如果要取消自动对局，就把all_in.txt和fold.txt重命名成别的文件即可，需要时再重命名回来。
取消自动对局后，对于特定的手牌，你可以选择一次性全下（All-in once）、一次性弃牌（Fold once）、总是全下（All-in always）、或者总是弃牌（Fold always）。
选择总是弃牌时，还可以选择是弃掉这一手牌，还是同时弃掉所有比这手牌小的牌。
手牌大小参见hands_interpretation.txt，编号为$0$（先手）或$169$（后手）的牌是最大手牌，然后编号越大，该手牌越小。
此时系统会根据你的选项重新生成all_in.txt和fold.txt，再次自动进行游戏。
之前讨论的都是$2$个玩家进行的游戏。
而德州扑克是支持多人参与的，人数的上限一般是$9$人。
我们接下来研究一下多人参与的德州扑克游戏。
我们仍然从最简单的荷官场打法开始。
$4$楼提到，$1$个玩家与荷官单挑，即使玩家采取最佳策略，平均每局仍然要输给荷官$0.0203692434743...$块钱。
而多个玩家群殴荷官，是有可能扭转败局的，
因为在荷官场，玩家之间可以互相看手牌。
跟$1$个玩家与荷官单挑比起来，多个玩家通过互相看手牌，可以多获得一些额外的信息。
我们接下来从$2$个玩家群殴荷官开始，进行精确的计算，
然后不断增加人数，继续进行精确的计算，
看看至少需要多少个玩家群殴荷官，玩家每局的期望收益才不小于$0$。 由于牌局数目随人数呈指数级增长，$3$人以上的牌局无法列举所有的情况，因而无法进行精确的计算。
我们只好采用随机抽样的方法进行近似的计算。
我们同时开启了$7$个线程，每个线程都运行了$1$个月，得到了如下的结果。
$2$个玩家群殴荷官，平均每局每玩家要输给荷官$0.0173\pm0.0006$块钱；
$3$个玩家群殴荷官，平均每局每玩家要输给荷官$0.0144\pm0.0008$块钱；
$4$个玩家群殴荷官，平均每局每玩家要输给荷官$0.0115\pm0.0010$块钱；
$5$个玩家群殴荷官，平均每局每玩家要输给荷官$0.0088\pm0.0012$块钱；
$6$个玩家群殴荷官，平均每局每玩家要输给荷官$0.0046\pm0.0014$块钱；
$7$个玩家群殴荷官，平均每局每玩家要输给荷官$0.0020\pm0.0016$块钱；
$8$个玩家群殴荷官才能盈利，平均每局每玩家赢$0.0022\pm0.0018$块钱。
从上面的数据我们可以看到，玩家互看手牌可以作出更有利的决策：平均每增加$1$个玩家，平均每局每玩家就少输$0.003$块钱，$8$个玩家群殴荷官就不亏了。
而真实的游戏设定里面，荷官场只有$5$个玩家座位，玩家还是要吃亏:@ 。 由于在荷官场里捞不到油水，荷官场打法的研究到此为止。
我们接下来研究一下多个玩家的All-in打法。
在真实的游戏设定里面，是有这样的游戏场的，规则如下：
$9$个玩家依次下注$100$、$100$、$100$、$100$、$100$、$100$、$100$、$105$、$110$筹码，
然后从第$1$个玩家开始，每个玩家按顺序依次选择$1897$筹码全下，或者弃牌。
如果前$8$个玩家都弃牌，那么第$9$个玩家无需行动，桌上所有的筹码由第$9$个玩家拿走；
如果只有$1$个玩家全下，其余弃牌，那么桌上所有的筹码由全下的玩家拿走；
如果有$2$个或以上的玩家全下，那么全下的玩家摊牌比牌，桌上所有的筹码由牌型最大的玩家拿走；
如果有多个全下的玩家的牌型并列最大，桌上的筹码由牌型并列最大的玩家平分。
一局结束后，原来的第$9$个玩家变成第$8$个玩家，……，第$2$个玩家变成第$1$个玩家，第$1$个玩家变成第$9$个玩家。
以上为游戏规则。
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接下来讨论策略。
由于所有人在$9$局游戏里都要依次充当第$1$个玩家，……，第$9$个玩家，
所以每个人都是平等的，策略可以用这样的一个函数来描述：
【局面】×【手牌】→【行动】
简单起见，我们首先讨论确定的函数（也就是固定的策略），稍后再讨论不确定的函数（也就是随机的策略）。
一个固定的策略需要多少个参数来描述呢？
我们算了一下，【局面】有$510$种，【手牌】有$169$种，一共需要$510\times 169=86190$个参数。
关于“【手牌】有$169$种”，在$2$人All-in打法里的“taxes.doc”里已经解释过了。
这里只解释一下为什么有$510$种局面。
首先看第$1$个玩家，他只面临$1$种局面。
然后看第$2$个玩家，他会面临$2$种局面：第$1$个玩家弃牌，第$1$个玩家全下；
然后看第$3$个玩家，他会面临$4$种局面：弃牌弃牌、弃牌全下、全下弃牌，全下全下；
……
最后看第$9$个玩家，他会面临$2^8-1=255$种局面：弃牌弃牌弃牌弃牌弃牌弃牌弃牌全下、……、全下全下全下全下全下全下全下全下。
所以一共有$1+2+4+8+16+32+64+128+255=510$种局面。
每种局面有$169$种手牌，一共需要$510\times 169=86190$个参数来描述一个固定的策略。
当局面和手牌都确定了，我们应该弃牌还是全下呢？
由于弃牌要损失$100$到$110$个筹码不等，所以只要全下后的期望亏损小于弃牌损失，就该全下，否则弃牌。
那如何计算全下后的期望亏损呢？
编程模拟！
我们接下来将“【局面】×【手牌】”称为【状态】，一共有$510\times 169=86190$种状态。
首先假设所有玩家在所有状态下都是全下，然后统计每种状态的全下次数和每次全下后的平均亏损，
当平均亏损以$3$个标准差显著大于弃牌损失时，以后再遇到这种状态就不全下了，直接弃牌。
一种状态的策略改变，会直接影响到其余状态全下后的平均亏损，
有些状态原来全下是盈利的，但可能由于其它状态的策略改变，后来就不盈利了。
如果这些状态后来显著亏损了，这些状态也会弃牌。
那有没有一些状态原来是显著亏损的，后来由于其它状态的策略改变，反而就显著盈利了呢？
有的。
为了找出这些状态，我们把模拟方法稍作修改。
当某种状态全下后显著亏损时，以后再遇到这种状态，还会试探性地以$1%$的概率全下，以$99%$的概率弃牌。
由于一直保持试探，以后这些状态变成显著盈利的时候，又会全下了。
现在程序已运行$4$天，策略仍在不断调整，未见稳定迹象。
$86190$种状态下的策略最终是否会稳定下来，我们拭目以待。
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目前大部分状态下的策略都已经稳定了，还有小部分状态下的策略仍在调整。
我们接下来根据程序目前的运行结果，总结一下每一手牌该怎么打。
这是假设其余$8$个玩家都采取最佳策略时，我方应采取的策略。
$77$以上的大对子：总是全下，显著盈利；
$66$：小于$4$个全下就全下，显著盈利，遇到$4$个以上全下仍可试探性全下，未见显著亏损；
$55$、$44$：小于$2$个全下就全下，遇到$3$个以上全下要弃牌，否则显著亏损，遇到$2$个全下看位置，有前位全下或者$2$个中位全下就弃牌，否则可全下，未见显著亏损；
$33$、$22$：没有遇到全下就全下，显著盈利，遇到$2$个以上全下要弃牌，遇到$1$个前位全下也要弃牌，否则显著亏损，遇到$1$个中后位全下可试探性全下，未见显著亏损；
$AKs$：总是全下，显著盈利；
$AKo$、$AQs$：小于$7$个全下就全下，显著盈利，遇到$7$个以上全下仍可试探性全下，未见显著亏损；
$AQo$：遇到$5$个以上全下要弃牌，否则显著亏损，遇到$4$个全下看位置，有前位全下要弃牌，否则显著亏损，其余情况可全下，显著盈利；
未完待续……
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按照上面的策略去游戏场打了，发现很多玩家都不按上面的策略去打，导致我方赢多输少，捞了不少油水。
据说游戏币可以在黑市上卖钱，我以后就靠这个吃饭了:lol
所以上面的策略就只能公布这么多了，否则我的饭碗不保:P
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