证明或否定：等比为奇素数的数列的和必有大于等比的素因子
已知 \(q\) 是奇素数，\(n\) 是大于 \(1\) 的正整数，\(S=1+q+q^2+\*\*\*+q^n\)
证明或否定，\(S\) 的最大素因子大于 \(q\)
1+3=4=2X2
1+3+9=13
…… \(1+7+7^{2}+7^{3}=2^{4} \times 5^{2}\)
可以算反例了吧？ 推广到一般情况
证明S(m)=1+m+....+m^n有大于m的素因子
假设S(m)没有大于m的素因子
计S(m)的最大素因子为A，m=kA+B.(k>0,B<A)
S(m)==1+B+....+B^n==S(B)==0(modA)
A>B则S(B)有大于B的素因子故结论是否定的
\(S(7)=1+7+7^{2}+7^{3}\)
\(7=1 \times 5+2\)
\(7 \equiv 2 \pmod 5 \)
\(7^{2} \equiv 2^{2} \pmod 5 \)
\(7^{3} \equiv 2^{3} \pmod 5 \)
\(1+7+7^{2}+7^{3} \equiv 1+2+2^{2}+2^{3} \pmod 5 \) http://oeis.org/A073501
用这个数列中的数，可以构造出一堆反例 \(1+67+67^2=3 \times 7^2 \times 31\)
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