我自己琢磨的，恳请大家帮忙论证·
正整数的四则分解与堆垒将一个正整数 n 表为若干个 1 的四则运算称为 n 的四则分解。如果其中不含有减和除，则称为半四则分解（虽然只有加乘两种运算）。所含1的数量称为分解的长度。长度最小的分解称为 n 的最小四则分解。这个最小长度记为a(n)（和b(n)）, 且都称为 n 的分子量（有文献定义为复杂度），这就得到了两个数列。a(n)即OEIS的A091333（感谢@zhouguang提供链接）, b(n)即A005245（感谢管理员提供链接）。显然，在最小四则分解中，除法是用不上的。
反过来，将若干个1通过四则运算构造一个正整数的操作称为这些1的四则堆垒。如果其中不含有减和除，则称为半四则堆垒。所能得到的最大数称为最大四则堆垒。
表1两数列的前99项。
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35
a(n) 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 7 8 8 8 8 9 8 9 9 9 10 10 9 10 10 9 10 11 10 11 10 11 11 11
b(n) 1 2 3 4 5 5 6 6 6 7 8 7 8 8 8 8 9 8 9 9 9 10 11 9 10 10 9 10 11 10 11 10 11 11 11
n 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67
a(n) 10 11 11 11 11 12 11 12 12 11 12 12 11 12 12 12 12 12 11 12 12 12 13 13 12 13 13 12 12 13 13 14
b(n) 10 11 11 11 11 12 11 12 12 11 12 13 11 12 12 12 12 13 11 12 12 12 13 14 12 13 13 12 12 13 13 14
n 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99
a(n) 13 13 13 13 12 13 13 13 13 14 14 14 13 12 13 14 13 14 14 14 14 14 13 14 14 14 14 14 13 14 14 14
b(n) 13 13 13 14 12 13 13 13 13 14 14 15 13 12 13 14 13 14 14 14 14 15 13 14 14 14 15 14 13 14 14 14
显然，a(n)≤b(n). 从表中可见，在大多数情况下都有a(n)=b(n). 使a(n)<b(n)最小的n=23. 前99项中a(n)<b(n)的只有n=23, 47, 53, 59, 71, 79, 89, 94.
对应给定的长度p>5, a(n)=p不止一个 n. 比如a(n)=6的有3解{7, 8, 9}. a(n)=7的解集为{10, 12}, a(n)=8的解集为{11, 13, 14, 15, 16, 18}. 容易知道，这些解集的的最大元素为3q（p=3q时）, 2·3q(p=3q+2时)或4·3q(p=3q+4时) .
由最小性定义可知，a(n)序列的相邻两项相差不超过1，即|a(n+1)-a(n)|≤1.所以 |a(n+d)-a(n)|≤d. 如果 |a(n+d)-a(n)|=d, 从a(n)到a(n+d)就是一个长为d+1的连续自然数段。比如表1中的a(81)附近有一个长为3的自然数段{12, 13, 14}。据有关文献，在2*10^11以内，观察到的连续自然数段最长为7.
以下性质有助于计算a(n):
一、a(n) ≤Min{a(n+1)+1, a(n-1)+1}。若 n 是较大的素数，不等式取等号。
二、a(n)≤a(d)+a(n/d)，d是n的真因子。
三、综合一和二，当n 为合数时，a(n)=Min{a(n+1)+1, a(n-1)+1, a(d)+a(n/d) }(d跑遍n的真因子)
然而我的猜想与a(n)这些玄妙的性质都没有关系，我的猜想是：
裴进兵猜想： 当n≥4时，n可表为1到n之间任意a(n)个正整数的四则运算。
例如，对于n=23，a(23)=10，从1到23任意选取10个数 8、10、14、19、11、12、17、7、15、14,
23=11+12+14-10-19+17-8+7-15+14
我的邮箱是peijinbing@163.com, QQ：2756772317，非常诚恳的邀请大家联系我 对于一个大数n,怎么快速求a(n) , 可以编程试试 里面肯定包含3*3*3*3…… 1000=2*2*2*5*5*5 a(1000)=21 算了下，n≤339322的时，a(n)≤40。M的代码如下：
ss = {{1}};
c := Union, Outer,Outer}]];
Do], ss[]], {i, k - 1}]], Flatten]]]]], {k, 2, 40}];
ss0 = Map &, ss];
p = Table}];
Do]]] = k;, {k, Length}];
ans = Take]] - 1];
其中，ss0的第k项，就是p=k可凑成的数。 a(3n)=a(3)+a(n)居然不成立。观察OEIS网站提供的10000以内的数据，发现以下6个反例：
n3na(n)a(3n)
15794737=2^7*37+12426
20776231=4*19*82-12527
23477041=2^7*55+12527
23897167=2^10*7-12527
27318193=2^13+12527
30919272=2*19*244+12628
b(3n)=b(3)+b(n)也不成立，反例更早，b(107)=16,b(321)=b(320)+1=18 参考一下http://oeis.org/A091333
呵呵，说明减法是必要的，那么除法呢？ 感觉lz的猜想可能有些问题，例如很可能a(21000)=2000，那么，随便找2000个数，例如1到2000吧，用它们凑出21000来貌似是挺难的。 a(n)<a(n/d)+a(d)的一些简单例子：
a(n)a(n/d)+a(d)
a(55)=a(54)+1=12 a(5)+a(11)=13
a(82)=a(81)+1=13 a(2)+a(41)=14
a(110)=a(2)+a(55)=14 a(5)+a(22)=a(10)+a(11)=15
a(121)=a(120)+1=152a(11)=16
a(134)=a(135)+1=15 a(2)+a(67)=16
a(143)=a(144)+1=15a(11)+a(13)=16
a(145)=a(144)+1=15a(5)+a(29)=16
a(161)=a(162)+1=15a(7)+a(23)=16
a(165)=a(3)+a(55)=15a(11)+a(15)=a(5)+a(33)=16
a(244)=a(243)+1=16 a(2)+a(122)=17
a(1331)=a(1332)+1=22a(11)+a(121)=23
只有n的质因子除2、3、5、7外没有更大的，才能对n的任意真因子 d 普遍成立a(n)=a(n/d)+a(d)。从而a(n)=∑d(d跑遍n的所有质因子，计重数) 裴进兵 发表于 2015-6-12 20:22
只有n的质因子除2、3、5、7外没有更大的，才能对n的任意真因子 d 普遍成立a(n)=a(n/d)+a(d)。从而a(n)=∑d(d跑遍n的所有质因子，计重数)
我看到了两份文献，即使n的质因子都是较小的2，3，5，7，上述结论也不成立.
1、对于a(2n)=n*a(2)=2n, 还是一个猜想，可能十分困难。并且还有反向猜想认为对于充分大的n, a(2n)<2n.
2、对于a(3n)=n*a(3)=3n, 这是成立的。
3、对于a(5n)=n*a(5)=5n, 已经找到两个压缩点。a(56)=29<30, 是第一个压缩点，a(536)=173<29*6是第二个压缩点。
我从OEIS网站提供的10000以内的数据中也观察到一个反例，是5和7的一个组合压缩点：
54·7=2·37+1,所以a(54·7)=2+3·7+1=24, 而4a(5)+a(7)=26. 一下子压缩了2度。 hujunhua 发表于 2015-6-13 20:57
我看到了两份文献，即使n的质因子都是较小的2，3，5，7，也不成立a(n)=a(n/d)+a(d).
观察a(3q)=3q,a(2⋅3q)=3q+2, a(4⋅3q)=3q+4 及15625=23*32(23*33+1)+1，a(15625)=29
是否分解式全是数字1、2、3？