原来用卷积公式就可以了,这一步的确应该不算太难
设$F_k(s)=int...int_{0<=x_1+x_2+...+x_k<=s} f(x_1)f(x_2)...f(x_k)dx_1dx_2...dx_k$
那么$F_{k+1}(s)=int_0^s f(x)F_k(s-x)dx$
于是$L_t (F_k)(s)={L_t(f)^k(s)}/s$
的确方法非常好.
对于这个题目,我们有
$f(x)={(1, "when" 0<=x<=1),(0,"for others"):}$
所以$L_t(f)(s)={1-exp(-s)}/s$
而结果需要计算$E(s)=1+sum_{k=1}^{infty}F_k(s)$
所以$L_t(E-1)(s)=sum_{k=1}^{infty} {(1-exp(-s))^k}/{s^{k+1}}={1-exp(-s)}/{s-1+exp(-s)}$
根据链接http://mathworld.wolfram.com/BromwichIntegral.html
计算上面的Laplace逆变换相当于求函数${exp(st)(1-exp(-s))}/{s-1+exp(-s)}$在复平面右平面所有奇点的留数.
也就是我们需要找出所有的复数s使得Re(s)>0,而且$s-1+exp(-s)=0$
感觉这个方程同Buffalo的稍微有一点区别,如果改成$s-1+exp(-\bar{s})=0$就同Buffalo的方程一致了,不知道哪里弄错了
呵呵,是我弄错了.
设s=a+xi,得
a-1+exp(-a)cos(x)=0
x-exp(-a)sin(x)=0
消去a即可
根据$E(s)=1+sum_{k=1}^{infty}F_k(s)$
而1的Laplace变换为$1/s$,所以直接可以写成
$L_t(E)(s)=1/s sum_{k=0}^{infty}({1-exp(-s)}/s)^k=1/{s-1+exp(-s)}$
也就是我们求$1/{s-1+exp(-s)}$的Laplace逆变换就可以了
即对于任何正数$gamma$,求积分$1/{2pi i}int_{gamma-i infty}^{gamma+i infty}{exp(st)}/{t-1+exp(-t)}dt$
其中左半平面各奇点的留数很容易计算.不过要计算上面积分,还有一个围道积分需要解决,好像还是很难处理
倒是wiki上找到一个Post's inversion formula很有意思,就是
$L_t^{-1}{F}=lim_{k->infty}{(-1)^k}/{k!}(k/t)^{k+1}F^{(k)}(k/t)$
用这个公式很可能可以得出我前面47#的公式
${exp(st)}/{t-1+exp(-t)}$在t=0的留数就是2s+2/3,也就是Buffalo的结果实际上就是这个函数所有留数之和.不知道Laplace逆变换正好是极点留数之和的条件是什么.
在英文wiki上找到:
By the residue theorem, the inverse Laplace transform depends only upon the poles and their residues.
看来的确只用考虑留数就可以了
呵呵，这题又翻出来了，俺也凑凑热闹。来推一推47#
设x1,x2,...xi个均匀分布的随机变量,其和为Si
易知
$E(x)=\sum_{i=0}^{infty}U_i(x)$
其中$U_i(x)=P(Si<x)$
需要求出$U_i(x)$。i个随机变量联合分布函数的求法是卷积，卷积的求法常见的是各位高人那样的积分变换。
这里我用一种更为常见的做法! :)
既然这么典型的情形，肯定有公式，需要查一下。果然，我查的那本书居然对此公式有3个证明，每个都挺简明。
$U_n(x)=1/{n!}*\sum_{i=0}^n(-1)^i *C_n^i*(x-i)_+^n$
其中$x_+=x>0?x:0$
于是
$E(1)=\sum_{i=0}^{infty}1/{i!}*(-1)^0 *C_i^0*1^i=e$
$E(2)=\sum_{i=0}^{infty}1/{i!}*(-1)^0 *C_i^0*2^i+\sum_{i=0}^{infty}1/{i!}*(-1)^1 *C_i^1*1^i =e^2-e$
$E(3)=\sum_{i=0}^{infty}1/{i!}*(-1)^0 *C_i^0*3^i+\sum_{i=0}^{infty}1/{i!}*(-1)^1 *C_i^1*2^i+ \sum_{i=0}^{infty}1/{i!}*(-1)^2 *C_i^2*1^i=e^3-2e^2+e/2$
也就是说
$E(x)=\sum_{i=0}^{}(-1)^i\sum_{n=i}^{infty}1/{n!}C_n^i(x-i)^n=\sum_{i=0}^{}(-1)^i{(x-i)^i}/{i!}e^{x-i}$
不过还是buffalo的公式更加好,无论是数值计算还是看其极限趋势
是的，47#的只前3项对