aimisiyou 发表于 2015-7-19 22:03:09

四面体的四面面积与体积

若已知四面体四面面积分别为S1、S2、S3、S4,能否求出体积表达式?

gxqcn 发表于 2015-7-20 08:04:42

不能,条件不充分。
即便4个面是全等的等腰三角形(面积S),四面体的体积也不是S的一元函数。

如图,深蓝色的母体是一个正方柱,高为h, 正方形底边长a. 从中可以斜解出一个等面四面体(红色)
`\D S^2=\frac{a^2}{2}(h^2+\frac{a^2}{2})`, `\D V=\frac13ha^2`
从上两式中不能同时消去 a 和 h,只能消去其中 1 个,比如消去 h可得
`\D V=\frac13a\sqrt{2S^2-\frac{a^4}{2}}`

282842712474 发表于 2015-7-20 09:02:19

6条合适的棱长可以确定一个四面体,体积由这六个独立参数唯一确定。
四个面积比起6个棱长,损失了2个信息,原则上是无法还原的。上楼的实例表明确实无法还原。

由此可见要想达到目的,必须棱长之间有一定的约束关系,使独立棱长数减少至与独立面积数相同。比如正三棱锥可以。
正三棱锥可由底边长 a 和 高 h 确定,四个面积则退化为两个面积,正好可以换元。

1)在球面上任取三点,假定构成边长为a,b,c的三角形,与球心构成的四面体棱长参数退化为a,b,c,r, 面积数量无退化,故可以换元。正三棱锥是这种实例的一个特例。
2)下图所示的四面体也行,它有三个棱长参数,三个面积参数:


楼上的实例是上述2)的特例。2)可以,为何其特例却不行呢?

葡萄糖 发表于 2015-7-20 10:22:04

The Pseudo-Heron Volume Formula
http://daylateanddollarshort.com/mathdocs/Heron-like-Results-for-Tetrahedral-Volume.pdf

让给定棱长为\(u\),\(v\),\(w\),\(U\),\(V\),\(W\).
在这里\((u,U)\),\((v,V)\),\((w,W)\)被认为是相对的棱(相对l棱的边缘不共享公共顶点)。
现在可以发现,从下面的公式:
\(\left\{ \begin{array}{l}
u'= v^2 + w^2 - U^2\\
v'= w^2 + u^2 - V^2\\
w'= u^2 + v^2 - W^2
\end{array} \right.\)
\[\text{volume} = \frac{1}{12}\sqrt {4u^2v^2w^2- u^2u'^2- v^2v'^2- w^2w'^2+ u' v' w' } \]
这些经典公式来源于课本《三维解析几何》(D.M.Y.萨默维尔著),剑桥大学出版社,1951。
http://zobayer.blogspot.com/2009/11/volume-of-irregular-tetrahedron.html
Volume of a Tetrahedron from its Edge-Lengths(page 11):
https://www.cs.berkeley.edu/~wkahan/VtetLang.pdf
http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.70.5396&rep=rep1&type=pdf

四面體的餘弦定理:
\(S_{4}^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2-S_1S_2\cos\theta_{12}-S_2S_3\cos\theta_{23}-S_1S_3\cos\theta_{13}\)
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_12_1/page2.html
平面三角形与空间四面体之间的类比:http://www.pep.com.cn/czsx/jszx/jxyj_1/czsxjxyjjscg/201204/t20120426_1121141.htm
余弦定理の拡張:http://www25.tok2.com/home/toretate/cos012.html
三角形到四面體的完全類比.pdf:http://activity.ntsec.gov.tw/activity/race-1/46/senior/0404/040406.pdf
四面體:http://www.twwiki.com/wiki/四面體

塔尔塔利亚公式:
\(V^2=\frac{1}{288}\begin{vmatrix}
0&d_{12}^2&d_{13}^2&d_{14}^2&1\\
d_{21}^2&0&d_{23}^2&d_{24}^2&1\\
d_{31}^2&d_{32}^2&0&d_{34}^2&1\\
d_{41}^2&d_{42}^2&d_{43}^2&0&1\\
1&1&1&1&0\\
\end{vmatrix}\)
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=2515&pid=55745&fromuid=8916
四面体\(ABCD\)的体积是\(V\),\(AB=a\),\(AC=b\),\(AD=c\),\(CD=l\),\(BD=m\),\(BC=n\)
\(AB\)是\(CD\)的对棱,\(AC\)是\(BD\)的对棱,\(AD\)是\(BC\)的对棱,
即\( a\)对应\(l\),\(b\)对应\(m\),\(c\)对应\(n\),
\(P_1=(al)^2(–a^2+b^2+c^2–l^2+m^2+n^2)\),
\(P_2=(bm)^2(a^2–b^2+c^2+l^2–m^2+n^2)\),
\(P_3=(cn)^2(a^2+b^2–c^2+l^2+m^2–n^2)\),
\(P=(abn)^2+(acm)^2+(bcl)^2+(lmn)^2\),
则\。
\(V=\frac{1}{6}abc\sqrt{\sin\omega \sin(\omega-\alpha)\sin(\omega-\beta)\sin(\omega-\gamma)}\)
\(\omega=\frac{\alpha+\beta+\gamma}{2}\)

数学星空 发表于 2015-7-20 12:40:40

V=1/3*(S1+ S2+S3+S4)*r
r为四面体内切球半径

aimisiyou 发表于 2015-7-20 20:28:37

282842712474 发表于 2015-7-20 09:02
6条合适的棱长可以确定一个四面体,体积由这六个独立参数唯一确定。
我说的是体积,没有说确定四面体啊!就好像我们知道三角形某一边长度和该边上的高,就可以算出面积,但并没有确定该三角形啊!

aimisiyou 发表于 2015-7-22 00:28:45

gxqcn 发表于 2015-7-20 08:04
不能,条件不充分。
即便4个面是全等的等腰三角形(面积S),四面体的体积也不是S的一元函数。



一下子豁然开朗

nyy 发表于 2024-4-7 11:24:07

本帖最后由 nyy 于 2024-4-7 11:25 编辑

葡萄糖 发表于 2015-7-20 10:22
The Pseudo-Heron Volume Formula
http://daylateanddollarshort.com/mathdocs/Heron-like-Results-for-Tet ...

\

应该是
\

资料来源见
定理五(四面體的餘弦定律):
設OABC為一個四面體,以 OA,OB,OC 為共同稜的兩面角分別為α,β,γ (見圖九),則
\[
\begin{displaymath}
\begin{eqalign}
(\triangle ABC)^2
&= (\triangle OAB)^2 + (\...
...e OAB \cdot \triangle OBC \cos \beta)
\end{eqalign}\eqno{(21)}
\end{displaymath}\]

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_25_12_1/page2.html
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