论坛 › 难题征解 › 求圆上三个有理点

kastin 发表于 2016-5-14 15:28:04

楼主只是要求不能是点(1,1)，即纵坐标 `y\neq 1`，如果 允许有一个点的纵坐标等于`-1` 的话，那么就有很多组满足要求的解了：$$(y_1,y_2,y_3)=\begin{pmatrix}
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{7}{13} & -1 & -\frac{17}{13} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{17}{25} & -1 & -\frac{31}{25} \\
\frac{7}{17} & -1 & -\frac{23}{17} \\
\frac{31}{41} & -1 & -\frac{49}{41} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{7}{13} & -1 & -\frac{17}{13} \\
\frac{23}{37} & -1 & -\frac{47}{37} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{7}{13} & -1 & -\frac{17}{13} \\
-\frac{7}{13} & -1 & -\frac{17}{13} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{7}{17} & -1 & -\frac{23}{17} \\
-\frac{7}{17} & -1 & -\frac{23}{17} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
\frac{1}{29} & -1 & -\frac{41}{29} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{1}{29} & -1 & -\frac{41}{29} \\
\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{7}{13} & -1 & -\frac{17}{13} \\
-\frac{17}{25} & -1 & -\frac{31}{25} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{7}{17} & -1 & -\frac{23}{17} \\
-\frac{1}{5} & -1 & -\frac{7}{5} \\
-\frac{23}{37} & -1 & -\frac{47}{37} \\
-\frac{7}{13} & -1 & -\frac{17}{13} \\
-\frac{31}{41} & -1 & -\frac{49}{41} \\
\cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}$$

kastin 发表于 2016-5-14 15:51:20

这是搜索的Mathematica代码
y1 := 1 - 2 a (a + b + c)/(a^2 + b^2 + c^2);
y2 := 1 - 2 b (a + b + c)/(a^2 + b^2 + c^2);
y3 := 1 - 2 c (a + b + c)/(a^2 + b^2 + c^2);

ylist = Table[{y1, y2, y3}, {a, -50, 50}(*
    a,b,c 搜索范围为-50,50 *), {b, a + 1, 50}, {c, b + 1, 50}] //
   Flatten[#, 2] &;
(* 找出满足条件的(y1,y2,y3)三元组 *)
Select[#,
   Element^2 - Numerator[#]^2], Integers] &&
   Abs[#[]] != 1 && Abs[#[]] != 1 &&
   Abs[#[]] != 1 &] &@ylist

zhouguang 发表于 2016-5-16 15:01:51

mathe 发表于 2016-5-14 11:09
题目可以归结为求整数$x_1,y_1,x_2,y_2,x_3,y_3,z$使得$x_1^2+y_1^2=x_2^2+y_2^2=x_3^2+y_3^2=2z^2,x_1^2+x ...

假定已经找到单位圆上的三个有理点（a、b、c），并且其中一个点纵坐标是另外两个点纵坐标之和（Ya+Yb=Yc），那么，如何求出满足条件的A、B、C三个点的坐标呢？

zhouguang 发表于 2016-5-17 11:02:59

昨日，膜拜mathe于九层，悟心得，录于下：
1、定义某角度为有理角，如果它的正弦和余弦值都是有理数。由定义，有理角和单位圆上的有理点一一对应。
（除了平凡情况，有理角和圆周角2Pi的比值总是无理数。）
2、有理角也和半径根号2圆上有理点一一对应，对应的方法之一是加上45度。
（把单位圆旋转45度，放大后，其上密麻麻的有理点就和半径根号2圆上有理点重合了。）
3、每个4n+1的素数对应一（对）有理角，例如5对应的有理角是arcsin(3/5)，即勾股三角形的锐角。
（可见有理角加法构成交换群，高手看看它的rank是几，和Q是如何对应的 ）
4、一层题目相当于要求找到3个有理角a、b和c，使得(cos(a)+sin(a))^2+...+...=3，即要求sin(2a)+sin(2b)+sin(2c)=0。

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