点的随机游走
1.有一个细菌在原点，细菌移动速度是1，但是它的方向是随机的（任何时刻朝它四面八方运动概率一样），就是说每直线运动一个微小量，再随机变方向继续移动一个微小量。就是说一秒移动过的曲线长度为1.求时间t后，这个细菌离原点距离的期望.2。假设有n个（n很大）这样的细菌开始都在原点，求时间t后，离原点距离r（r小于等于t）的圆圈上的细菌个数密度。
至于第一问我想到了个巧妙方法列方程，第二问我还没有方法。大家方法不限，可以编程仿真。 既然运动是一个很微小的量，那么每两次运动之间的时间差也很微小。对于这种结果，运动轨迹并不适合用曲线长度来描述，一秒钟移动曲线长度没有意义，倒是每次移动花费的时间很重要，确定了这个“量子”的频率。
比较理想的描述是将结果描述为一个概率云。显然是一个方向无关以原点为中心的正态分布。 这个相当于把钉板实验升一个维度。
感觉如果速度一定，一定时间后距离的期望应该和运动方向改变的频率成接近反比的关系。如果每次运动一个微小量就改变方向，那么最后距离的期望也会很小。 mathe 发表于 2016-9-7 17:29
既然运动是一个很微小的量，那么每两次运动之间的时间差也很微小。对于这种结果，运动轨迹并不适合用曲线长 ...
我发现，这个点如果是每走一个无穷小量就改方向的话，在有限的时间里，它根本就走不出原点！三维情况更是，一维运动应该可以走出距离来 一维和多维问题应该没有本质区别。
对于一维问题来说，每次移动服从贝努利分布，以相等概率左右移动，均值为0，均方差为1。根据中心极限定理，移动n次近似正态分布，均值为0，标准差为$\sqrt(n)$
而对于二维问题，我们只需要分析任意一个方向上的移动距离，比如水平方向，那么距离就是$sin(t), t\in (0,\pi)$,变化的只是均方差跟小，但是总体趋势还是没变
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