《从根式解到伽罗华理论》
《从根式解到伽罗华理论》目 录
编者的话………………………………………………………………………………………Ⅰ
第一章方程式解成根式的问题·二项方程式
§1引言·方程式解成根式的问题………………………………………………………… 1
§2二项方程式……………………………………………………………………………… 2
第二章代数扩张及方程式解成根式的问题的另一种提法
§1数域及其代数扩张……………………………………………………………………… 4
§2方程式解成根式作为域的代数扩张…………………………………………………… 9
§3域的有限扩张……………………………………………………………………………10
第三章置换·群
§1置换………………………………………………………………………………………15
§2群…………………………………………………………………………………………17
§3可解群·交错群与对称群的结构………………………………………………………20
第四章论四次以上方程式不能解成根式
§1预备定理…………………………………………………………………………………27
§2鲁菲尼-阿贝尔定理…………………………………………………………………… 35
第五章克罗内克定理
§1阿贝尔引理………………………………………………………………………………39
§2克罗内克定理……………………………………………………………………………40
第六章用根式解代数方程式的可解性条件
§1代数方程式的群的基本概念……………………………………………………………45
§2正规域的性质·同构延拓………………………………………………………………48
§3代数方程式的群的性质…………………………………………………………………53
§4代数方程式可根式解的充分必要条件…………………………………………………56
§5一般代数方程式的群·克罗内克定理…………………………………………………63
主要参考文献……………………………………………………………………………… 67
请问这本书还有资料吗？很想看，在哪能找到 目 录
编者的话…………………………………………………………………………………… Ⅰ
第一章 方程式解成根式的问题•二项方程式
§1方程式解成根式的问题•历史的回顾…………………………………………………1
§2二项方程式………………………………………………………………………………4
第二章 代数方程式的古典解法
§1一次、二次方程式………………………………………………………………………8
§2三次方程式………………………………………………………………………………9
§3四次方程式…………………………………………………………………………… 17
§4三次方程式的其它解法……………………………………………………………… 23
§5契尔恩豪的变量替换法……………………………………………………………… 24
§6五次方程式的布灵–杰拉德正规式……………………………………………………26
第三章 域上的多项式•数域的扩张
§1数域•数域上的多项式……………………………………………………………… 32
§2一元多项式的可除性及其性质……………………………………………………… 34
§3多项式的最大公因式………………………………………………………………… 37
§4贝祖定理•韦达公式………………………………………………………………… 40
§5数域的代数扩张……………………………………………………………………… 42
§6数域的有限扩张……………………………………………………………………… 46
第四章 对称多项式
§1含多个未知量的多项式的基本概念………………………………………………… 52
§2两个预备定理………………………………………………………………………… 53
§3问题的提出•未知量的置换………………………………………………………… 55
§4对称多项式•基本定理……………………………………………………………… 57
第五章 用根的置换解代数方程
§1拉格朗日的方法•利用根的置换解三次方程式…………………………………… 62
§2利用根的置换解四次方程…………………………………………………………… 64
§3求解代数方程式的拉格朗日程序…………………………………………………… 65
第六章 置换•群
§1置换…………………………………………………………………………………… 69
§2对称性的描述•置换群的基本概念………………………………………………… 73
§3一般群的基本概念…………………………………………………………………… 75
§4子群•群的基本性质………………………………………………………………… 76
§5根式解方程式的对称性分析………………………………………………………… 77
第七章 论四次以上方程式不能解成根式
§1方程式解成根式作为域的代数扩张………………………………………………… 79
§2第一个证明的预备…………………………………………………………………… 80
§3不可能的第一证明•鲁菲尼-阿贝尔定理……………………………………………85
§4第二个证明的预备…………………………………………………………………… 87
§5不可能的第二证明•克罗内克尔定理……………………………………………… 90
第八章 有理函数与置换群
§1引言•域上方程式的群……………………………………………………………… 95
§2伽罗华群作为伽罗华预解方程式诸根间的置换群………………………………… 96
§3例子…………………………………………………………………………………… 99
§4根的有理函数的对称性群……………………………………………………………101
§5有理函数的共轭值（式）•预解方程式…………………………………………… 102
§6伽罗华群的缩减………………………………………………………………………105
§7伽罗华群的实际决定法………………………………………………………………107
第九章 以群之观点论代数方程式的解法
§1利用预解方程式解代数方程式………………………………………………………109
§2预解方程式均为二项方程式的情形…………………………………………………110
§3正规子群•方程式解为根式的必要条件……………………………………………111
§4可解群•交错群与对称群的结构……………………………………………………113
§5预解方程式的群………………………………………………………………………117
§6商群……………………………………………………………………………………119
§7群的同态………………………………………………………………………………120
第十章 分圆方程式的根式解
§1分圆方程式的概念……………………………………………………………………123
§2十一次以下的分圆方程式……………………………………………………………125
§3分圆方程式的根式可解性……………………………………………………………127
§4高斯解法的理论基础…………………………………………………………………130
§5分圆方程式的高斯解法•十七次的分圆方程式……………………………………131
§6用根式来表示单位根…………………………………………………………………134
第十一章 循环型方程式•阿贝尔型方程式
§1可迁群…………………………………………………………………………………136
§2循环方程式……………………………………………………………………………138
§3阿贝尔型方程式………………………………………………………………………141
§4循环方程式与不变子群•方程式解为根式的充分条件……………………………144
第十二章 抽象的观点•伽罗华理论
§1同构及其延拓…………………………………………………………………………147
§2以同构的观点论伽罗华群……………………………………………………………149
§3正规域的性质•正规扩域……………………………………………………………151
§4代数方程式的群的性质………………………………………………………………153
§5代数方程式可根式解的充分必要条件………………………………………………156
§6推广的伽罗华大定理…………………………………………………………………159
§7应用……………………………………………………………………………………162
主要参考文献…………………………………………………………………………… 164
《从根式解到伽罗华理论》第二版 §4循环方程式与不变子群•方程式解为根式的充分条件
相应于第九章§4末尾的讨论，我们来证明
定理4.1若数域P上的方程式f（x）=0的群G有一不变子群H，其指数为素数p，则存在一p次循环方程式，使P添入其一根后，伽罗华群G缩减为H。
证明设群G有一指数为素数p的不变子群H。今取H的特征不变式φ，并设其在G下的共轭值为φ2，φ3，…，φp。按第九章定理6.2，P内的预解方程式
g（y）=（y-φ）（y-φ2）…（y-φp）=0 （1）
的群为G对不变子群H的商群G/H，其阶为p。但素数阶的群是循环的，于是方程式（1）是循环的。这就是找到了我们需要的方程式。
以上定理的逆叙述，其实也是正确的。即，
定理4.2若数域P上的方程式f（x）=0的群G，经素数p次循环方程式的一根添加而缩减为H，则H是群G的不变子群，其指数为素数p。
证明设f（x）=0没有重根（可约与否可不论）。令h（x）=0为P上的循环方程式，而次数为素数p。假定添加h（x）=0的一个根β，化群G为其子群H（指数为v）。并设h（x）=0的p个根为β1=β，β2，…，βp。
依第八章定理6.2的推论2，h（x）=0的次数p为指数v的倍数。因p是素数，且v大于1，故得v=p。
设φ属于子群H，则φ为P内β的函数（第八章定理6.2），并且域P（φ）为域P（β）的子域。按照次数定理（第三章定理6.2），次数（P（φ）：P）为（P（β）：P）的因子，但次数（P（β）：P）为素数，
①设H为循环群，若H本身可迁，则按定理1.4推论2，它的阶应等于它的次数（循环群必为交换群），于是它任一真子群小于其次数而不能为可迁群；若H非可迁，则其子群更加不能为可迁群。
故P（φ）与P（β）重合：P（φ）=P（β）。这就是说，不仅φ为P内β的函数，β亦为P内φ的函数，于是β是方程式f（x）=0诸根的函数，既然，f（x）=0在P（β）上的伽罗华群为H，所以β与φ一样，属于群H。
施G之诸置换于是函数β，得次之互异诸值：β，β2′，…，βp′（注意到v=p）。由第八章定理5.3，这些值为一不可约方程式的根。这个方程式与不可约方程式h（x）=0相同（可能相差一个常数因子），因为它们有公共根β。于是根集{β1=β，β2′，…，βp′}与{β，β2，…，βp}相同。
令si为G内变β为βi的置换，则β2，β3，…，βp的特征不变群分别为（第九章定理3.1）
， ，…， 。
但β1=β，β2，…，βp为同一循环方程式的根，按定理2.1可写
β2=g（β1），β3=g（β2），…，βp=g（βp-1），β1=g（βp），
这里g（x）是系数在P内的某一个有理函数。于是不变β1的置换亦不变β2，从而
H。
同样的可以得到： ，…， ，H 。
所以，最后我们得出
H= =…= ，
这些等式表明了H是G的不变子群。
现在我们来证明第九章§3定理3.3中的条件亦是充分的。设方程式f（x）=0关于基域P的伽罗华群G可解：
G=G0éG1éG2é…éGk={I}，
这里Gi是Gi-1 的正规子群，并且=pi均是素数。于是可写
按照定理4.1的证明过程，上面的诸预解方程式均为循环型方程式（它们的群G/H1，H1/H2，…，Hk-1/Hk均循环）。按定理2.3，这些方程式是可以根式求解的。如此，原f（x）=0亦可根式求解。
这得到了伽罗华的著名定理的另一部分：
定理4.3一个代数方程式可根式求解的充分条件是它的伽罗华群G可解：
G=G0éG1éG2é…éGs={I}，
这里任一群均为其前一群的不变子群，且指数为素数。
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设有一个n次代数方程式
\(a_0x^n+a_1x^{n-1} +…+a_n=0, (a_0 \neq 0)\) （1）
它的系数是给定的复数，那么这个方程式恰好有n个复根（每根按其重数计算个数）。这就是著名的代数基本定理①。现在发生一个问题——如何在方程式（1）的系数上施各种运算来求这些根。
一个复数a的n次方根的开方运算和解所谓的二项方程式
\(x^n-a=0, (a\neq 0)\) （2）
是同一个问题。在代数学中 这个符号通常理解为二项方程式（2）的一个根，而这符号常常叫做根式。
于是可施于复数的基本代数运算是四种算术运算，以及开方运算。所以很自然地提出这样一个问题，即所谓方程式解成根式的问题：把方程式（1）的根用有限次加、减、乘、除、开方运算以其系数表示出来。
在初等代数学的教程中我们已经知道二次方程式的根式解法。历史上，早在公元前1700左右，古代巴比伦人就知道了求解二次方程式的方法。一般二次方程的求根法则（公式）也早已出现在公元九世纪花刺子模学者穆罕默德•本•穆萨•阿尔•花剌子模（Abu Abdulloh Muhammadibn Muso al-Xorazmiy，约780-约850）的重要著作里，在这以后漫长的岁月里人们一直希望把古代数学家的成果推广到高次方程。但高于二次的方程则是另外一回事了。一般的三次方程的求解需要远非显然的想法，这就使得古代数学家的努力都归于无效②。直到十六世纪初的意大利文艺复兴时期③，这个问题才被意大利的数学家斯齐波•德尔•菲罗（Scipione dal Ferro，1465—1526）所解决。在三次方程式被解出后，一般的四次方程式很快地就被鲁多维科•费拉里（Ferrari Lodovico，1522—1565）解出。以后几乎有三个世纪之久，人们在做下面的失败的企图，就是想对任何一个五次方程式（也就是带有符号系数的五次方程式），找出它的解，而经它的系数用根式表出。我们很难想象，为了解一般的五次方程式，不知耗去多少枉然的精力。我们说这个
①远在1629年，荷兰数学家吉拉尔（A1bert Girard，1595－1632）就曾预想任何一个n次代数方程式都有n个根（实根或虚根）。在1746年法国学者达朗贝尔（Jean 1e Rond d'A1embert；1717－1783）首先企图证明这个代数基本定理，但是它的证明法不够严格。直到1799年德国数学家高斯（Carolus Fridericus Gauss；1777－1855）才完全地证明了这个定理。
②大约在1074年，奥马•海亚姆（Omar Khayyam，1048—1123），在当今由于诗作而更有名的伊朗数学家，就用圆锥曲线给出了三次方程的几何构造。
③在16世纪初期，现代的记号是不存在的，所以求根的技艺牵涉到的不仅仅是数学的技巧，而且要克服语言上的障碍。用字母来标明变量是韦达（Fran&ccedi1，ois Viète；1540—1603.12.13，法国数学家）在1591年发明的，他用辅音来表示常量，用元音来表示变量（用字母表示开始的字母a，b，c，…表示常量，用字母表中后面的字母x，y，z表示变量，这种现代记号是笛卡尔（Rene Descartes，1596.3.31—1650.2.12，法国哲学家、科学家和数学家）于1637年在他的书《LaGéométrie》中引人的），指数记号$A^2,A^3,A^4$ 实际上是戴维•休谟（DavidHume，1711—1776，苏格兰哲学家）在1636年引入的（他表示为Aⅱ，Aⅲ，Aⅳ，…）。符号+，-， 及诸如a/b中表示除法的/是魏德曼（J．Widman）在1486年引人的。用符号$xx$表示乘法是奥奇德（William Oughtred，1574-1660）在1631年引人的。用符号$\div$表示除法是拉恩（J．H．Rahn）在1659年引入的。符号=是理科德（Oxford don Robert Recorde）于1567年在他的书《WherstoneWit》中引入的：
“为避免令人厌烦地重复“等于”一词，我经常在我的著作中用一对平行的或两条相等的线段（即=）表示它，因为两事物相等”。
这些符号并没有被立即采用，而且还有其他的类似的记号。直到下个世纪（即17世纪），当笛卡尔的书《La Géométrie》出版后，才使得大多数符号在欧洲变得通用起来。
回到三次方程式。缺乏好的记号确实很不方便。例如，三次方程式$x^3+2x^2+4x-1=0$只能大概地如下给出：取某东西的3次方，加上此东西的平方的2倍，再加上此东西的4倍，最后必须等于1。复杂情况让人难以接受。并且负数是不允许的，方程式$x^3-2x^2-4x+1=0$只能用如下形式给出：$x^3+1=2x^2+4x$。因此根据系数是正的、负的或0（依我们的记号），三次方程式有许多类型。
问题是向人类智慧的一个挑战并不过分。
从拉格朗日开始，问题的本质比较清楚了。著名的法兰西数学家约瑟夫•路易斯•拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange，1736-1813）在1770—1771年所发表的长文（有200多面）“关于代数方程解法的思考”中，他透彻地分析了前人所得的次数低于五的代数方程的求解方法，发现都可以作适当的变量代换化为求解某些次数较低的辅助方程，进一步他发现这些辅助方程的根都可以表示为原方程式根的函数，并由此他将前人各种求解代数方程的方法用根的置换理论统一起来，从而认识到这些表面看起来不同的解法原来都是遵循着同一个基本原理的。他并且指出这些成功了的解法所根据的情况对五次及更高次方程是不可能发生的。
从菲罗所处的时代到拉格朗日的这篇文章出版时，中间经过了两个半世纪，在这样长的时间里任何人都没有怀疑过用根号解五次及更高次方程的可能性，也就是说，大家认为可以找到一个表示这些方程的根的公式，而这个公式像古代的解二次方程及十六世纪意大利人解三次及四次方程一样，只是对这些方程的系数作加、减、乘、除及求正整数次根诸运算就可得到。仅仅以为是人们没有能有成效地找到正确的然而看来是很诡秘的道路去得出解法。
拉格朗日在他自己的回忆录（全集第三卷第305页）中曾说“用根号解四次以上的方程的问题是不可能解决的问题之一，虽然关于解法的不可能性什么事情也没有证明”，在第307页他补充说“由我们的研讨可以看出用我们所考虑的方法给出五次方程的完全解法是很值得怀疑的”。
在拉格朗日的研究中，他引进了式子
$x+\epsilon x_2+\epsilon^2 x_3+…+\epsilon^{n-1}x_n$，
式中$x_1,x_2,...,x_n$是方程的根，$\epsilon$是1的任一n次方根，并且确定了正是这些式子紧密地联系着用根号解方程，现在我们将这些式子叫做“拉格朗日预解式”。
此外，拉格朗日觉察到方程的根的排列理论比方程用根号解的理论有更大的意义，他甚至表达出排列的理论是“整个问题的真正哲学”的看法，正如后来伽罗华的研究所指出的那样，他是完全正确的。
继拉格朗日之后，摆在在当时数学家面前的问题是：代数的运算是否能够解一个高于四次的方程式①。1798年意大利学者鲁菲尼（Pao1o Ruffini，1765-1822）曾经企图证明高于四次的一般方程式不能用代数解，但是他的理由并不充分。
高于四次的一般方程式用代数解的不可能性的严格证明②，首先由挪威数学家阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）所给出。在短暂的生命过程中，这是他对于数学各部门成功的深入研究之一。1824年， 阿贝尔自费出版了自己的论文，因为经费上的拮据，这篇论文被非常浓缩地压成了只有六页的小册子。在这个著作中阿贝尔证明了这样一件事：如果方程的次数$n\ge 5$，并且系数$a_0,a_1,...$, 看成是字母，那么任何一个由这些系数通过加、减、乘、除和开方运算构成的表达式不可能是方程的根。原来一切国家的最伟大的数学家三个世纪以来用根号去解五次或更高次方程之所以不能获得成功，只因为这个问题根本就没有解。
然而这并不是问题的全部，代数方程理论的最美妙之处仍然留在前面，问题在于有多少种特殊形式
①17世纪时英国数学家詹姆斯•格雷戈里（James Gregory，1638-1675）曾提出猜测：对于n>4的一般n次方程是不能用代数方法求解的。
②事实上，阿贝尔的证明有一个漏洞，后经爱尔兰数学家哈密尔顿（William Rowan Hamilton，1805~1865）补充说明。
的方程能够用根号解，而这些方程又恰恰在多方面的应用中是重要的。例如，二项方程$x^n-a=0$便是这样方程。阿贝尔找到很广泛的另一类这样的方程，就是所谓的循环方程及更一般的“阿贝尔”方程。由于用圆规直尺作正多边形的问题，高斯①详尽地考察了所谓的分圆方程②，也就是形如
$x^{p-1}+x^{p-2}+…+ x+1=0$
的方程，其中p是素数，证明了它们总能归为解一串较低次的方程，并且他找到了这种方程能用二次根号解出的充分与必要条件（这个条件的必要性的证明只是到伽罗华时才有了严格的基础）。
总之，在阿贝尔的工作之后的情况就是这样，虽然阿贝尔证明了高于四次的一般方程是不能用根号解出，但是有多少种不同类型的特殊的任何次方程仍然是可以用根号解出呢?由于这个发现，关于用根号解方程的全部问题是在新的基础上提出来了，应该找出一切能用根号解出的那些方程，换句话说，就是找出方程能用根号解出的充分与必要的条件，这个问题是由天才的法兰西数学家埃瓦里斯特•伽罗华（évariste Galois，1811-1832）解决的，而问题的答案在某种意义下给出了全部问题的彻底的阐明。
伽罗华通过改进数学大师拉格朗日的思想，即设法绕过拉格朗日预解式，但又从拉格朗日那里继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来的思想，并在阿贝尔研究的基础上，进一步发展了他的思想，把全部问题转化或归结为置换群及其子群结构的分析。这个理论的大意是：每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域，称为这方程的伽罗华域，这个域对应一个群，即这个方程根的置换群，称为这方程的伽罗华群。伽罗华域的子域和伽罗华群的子群有一一对应关系；当且仅当一个方程的伽罗华群是可解群时，这方程是根式可解的。
伽罗华的个性是非常独特的。我们在这里把他的生活略为介绍一下。投考高等技术学校的入学试验他曾经两次失败。1829年伽罗华入了师范学校，但是由于语言和指导人抵触，不久即被斥退（在1830年七月革命之后）。之后伽罗华参加了当时法国的暴风雨式的政治生活，而且成了一个活跃人物。他不但是一个热情的共和党而且也是法皇路易•菲利普（Louis-Phi1ippe de France，1773—1850）的死敌。经过不只一次的被逮捕，结果在决斗上尽了他完美的生命（二十岁的年龄）。他不可能对数学这一学科花费很多的时间，然而伽罗华在自已的生命中却在数学的一些不同的部门中给出了远远超过他的时代的发明，特别是给出了代数方程论中最著名的结果。伽罗华的结果并未得到和他同时代的权威学者的赞许，他提交给法国科学院的两篇文章，不但没有得到答复，甚而被认为是一种混乱。1846年，在伽罗华死后14年，他所留下的不算长的手稿才由刘维尔（JosephLiouville，1809—1882）首次发表在“关于方程用根号解的条件的记录”中。在这篇文章中，伽罗华从很简单的但是很深刻的想法出发，解开了环绕着用根号解出方程的困难的症结，而这个困难却是伟大的数学家们所毫无成效地奋斗过的。
伽罗华的成就在于他在数学中第一次引进了非常重要的新的一般概念——群，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人们称之为伽罗华理论。正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程。
①1801年，高斯的著作《算术研究》出版。这本名著第七章的主要目标即是分圆方程的可解性。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的，前后花了三年时间。1800年，高斯将手稿寄给法国科学院，请求出版，却遭到拒绝，于是高斯只好自筹资金发表。
②拉格朗日曾考虑p=11时，分圆方程式$x^11-1=0$的根式解问题，但是没有解决这个问题。范德蒙却完整地证明了$x^11-1=0$有根式解，并提出通过归纳法给出各个次数的单位根的表达式的方法。高斯确实实现了这一点，同时他通过对素数次的分圆方程逐步化简降低方程次数的方法也实现了拉格朗日对任意次方程求解的预想。
编者的话
五次及以上方程式的根式解问题是为很多人所兴趣的，在数学史上，这个问题的解决差不多经历了三个世纪。直到19世纪上半叶，经过几代数学家的努力，这个问题才最终因伽罗华创设的新理论（所谓伽罗华理论）而得到完满解决。然而遗憾的是，这个理论在大学数学的教育当中却鲜少得到一个充分的阐释，一学期的抽象代数学课程往往是群、环、域等概念介绍完毕也就完事了，代数方程根式解理论以及与之相关的三大尺规作图问题等根本就来不及介绍。
另一方面，在现有的中文文献中，关于伽罗华理论的讲述有着两种较为极端的情况。一种是（少数）以方程式论为背景的，但往往是蜻蜓点水式的叙述，读者不能得到问题的充分答案！另一种虽然是较为完备的叙述，但完全采用毫无方程式求根背景的抽象代数式的论证，令很多初学者望而却步！
其次，在整个方程式根式解问题的探索过程中，其它一些数学家的工作也是值得注意的：拉格朗日关于代数方程根式解的工作；阿贝尔关于一般五次方程根式不可解的证明以及特殊根式可解方程式的研究；高斯关于分圆方程理论研究等等。对于这部分内容，在中文文献中都没有作充分的剖释，要么是仅仅提供一些历史性的叙述材料，要么是语焉不详，论证模糊。事实上，只有了解这些工作，才能真正排除这样的疑惑：方程式根式解问题的彻底解决，为什么是通过一种初看起来有些奇怪的方式——利用根的置换（群）理论。这对期望了解这些细节的读者来说不能不说是一个缺憾。
所有这些都促成了本书的编辑。本书是由五部分组成的，内容分为十二章。
第一部分是第一章与第二章，主要是根式解问题的提出与其发展的简单历史；二项方程式的借助三角函数的解法以及二至四次一般方程式的根式解法。
第二部分（第三章与第四章）是为后面的部分作准备的，讨论域上多项式的性质，对称多项式的基本定理以及数域的扩张。
第三部分（第七章）是全书比较独立的一部分，主要讨论阿贝尔和克罗内克关于根式解四次以上方程式不可能性的证明（照顾到逻辑性，本书并未严格地按照历史发展的先后来叙述）。克罗内克的定理的重要意义在于以较少的篇幅、并且是不是特别抽象的方式提供一个不可能性的证明，并且还给出了这种方程的具体例子。
第四部分包括第五章、第六章、第八章、第九章、第十章和第十一章。前四章主要讨论由拉格朗日创始然后再由伽罗华发展的关于“利用根的置换理论来解方程式”的理论。这里读者将看到群、不变子群、商群等概念的引入是多么的自然！我们对伽罗华群给予了特别的重视：首先以足够明白的方式定义了这个概念（第八章§1），然后再以伽罗华的原始做法给出伽罗华群的具体确定方式（第八章§2），最后还给出了操作性较强的伽罗华群的决定法（第八章§7）。第十章主要讲解高斯关于分圆方程式的研究。在这一章，我们没有利用伽罗华理论而证明了分圆方程式借助根式的可解性（§3）。§4则呈现了分圆方程式的高斯的具体解法。第十一章则是两种特殊可解类型方程式的研究。
最后，第五部分（第十二章），则是以简洁的但抽象的观点来叙述方程式的根式解问题，即伽罗华理论。
编 者
2016年11月19日于浙江衢州