蒙特门难题
蒙特门难题本智力题得名于一位美国电视游戏节目的主持人蒙特，他曾在多年之前主持一档档名为成交的节目。在其中的一个游戏中，Monty向竞猜者展示了三扇门。有一扇门之后是一辆小轿车。另两扇门之后是空房间。蒙特事先知道门后是什么，但您并不知道。
游戏分为三步：
1、您选择一扇门。
2、蒙特将会打开剩余的两扇门中的一扇，展示一个空的房间。（他从不会打开那扇后面藏有汽车的。）
3、然后您可以选择是仍然选择在步骤1中选择的那扇门，还是选择去打开另一扇仍然关闭的。
假定您选择了A门。然后蒙特打开了另两扇门中的一扇，假定为B门。现在您可以选择改选C门或者仍然坚持最初的选择，即A门。如果没有改变选择，那么可能会猜对也可能会猜错。另一方面，如果您改选C门，则还是既可能猜对也可能猜错。您会做出什么选择呢？在蒙特打开一扇门之后，是坚持最初的选择，还是改变前面已做的选择呢？为什么呢？
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公认的正确选择是：换门
理由是A门的概率是1/3,C门的概率从1/3提高到了2/3.因为B门被确认是空的。那么，请问B门的1/3为何不是平分到A和C门上去，而偏只叠加到了C门？
换不换都一样，因为告诉你空门之后，你坚持选择能拿到小车的概率就从1/3变成1/2（因为信息的作用），换门也是1/2。想要换门都是人的思维错觉。 公认换门的人跑哪里去了？:) 本帖最后由 sheng_jianguo 于 2023-10-12 17:13 编辑
这是一道很有意思的题目，问题提法不同会有不同的结论。
我们来看看此问题的最初提法：
美国有一家报纸，叫做<<行进>>（Parade）。在它的星期日增刊上，有一个专栏，叫做“请问玛丽莲”(Ask Marilyn)。在这个专栏中，常有一些有趣的问题，要广大读者作答，当然，最后权威的解答由主持人“玛丽莲小姐”给出。在1990年9月9日的“请问玛丽莲”专栏中，有这样一个问题:
电视节目主持人请你参加一项有奖游戏，就像我国很多电视台节目中的“请你参加”一样。主持人让你看3扇关着的门，这3扇分别编上了号码:1号门、2号门和3号门。主持人告诉你：其中一扇门后面是一辆汽车，另两扇门后面各有一头山羊，你可以从中选择一扇门，选定后，这扇门后面的东西就归你了。这可是太富有刺激性了！
你当然希望得到一辆汽车，但是此时此刻，你只能凭运气，随机地选择一扇门，除此别无他法。比方说你选择了1号门。但这时主持人﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚打开了另两扇门的一扇，如果他打开了3号门，让你看到这后面是一头山羊，并对你说，现在给你一个机会，允许你改变原先的选择，请你考虑一下：是仍然选择1号门，还是改而选择2号门。这时，你该怎么办?
应该说这道题目的设计者真是诡计多端，他﹙她﹚把一道概率论方面的数学问题用通俗的方式表达出来，并用一种“节外生枝”的手法把问题弄得扑遡迷离。还是先让我们用概率论的术语把问题表达清楚：在这种情况下，是仍然选择1号门而获得汽车﹙即汽车是藏在1号门后面﹚的概率大,还是改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率大?
大概玛丽莲小姐自己也没有料到,当她的“权威性”答案公布以后,在美国引起了轰动.从二年级的小学生到研究生,甚至具有博士学位的读者，纷纷写信报社，对玛丽莲小姐的答案提出了自己的看法.在这成千上万的来信中,有90%认为玛丽莲小姐的答案是错误的.据说这90%的读者中,有约1000位是博士；甚至在卷入这场讨论的美国大学教授中，也有三分之二对玛丽莲小姐的答案持反对意见。
先在让我们来看看玛丽莲小姐的答案和大多数读者的看法。
玛丽莲小姐的答案：玛丽莲小姐说,这时你应该改而选择2号门,因为本来汽车藏在1号门后面的概率1/3﹙一共有3扇门,汽车藏在其中任何一扇门后面的概率都一样,故各为1/3﹚,而藏在2号3号门后面的概率2/3。现3号门被排除了,汽车藏2号门后面的概率就增加到2/3了。
大多数读者的看法：既然现在3号门后面不是汽车,那末汽车藏在1号门后面和藏在2号门后面的概率是相等的，各为1/2，故仍选择1号门和改而选择2号门都一样，无所谓。
玛丽莲小姐振振有词,似无懈可击；大多数读者的看法理由明了，似符合直觉.问题出在哪里呢?
本人以为，这个有趣问题的关键是：问题似乎已将条件都给出，应有一个确定的答案。但实际上若要有一个确定的答案，问题所给出的条件是不够的。
这个问题中的众多解答中，最完美解答之一是美国得克萨斯大学的 Leonard Gillman教授（美国著名数学家，曾担任过两年美国数学协会主席）在1992年在The American Mathematical Monthly（《美国数学月刊》1992年1月号）上发表的论文 The Car and Goats（《汽车与山羊》）。Gillman教授在这篇论文中，对这个问题作了精辟分析，计算了改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P，并讨论了一些关于概率事件理论结果同直觉经验之间矛盾的问题。（需知详情者，我可以提供原文资料《 The Car and Goats》）
根据 Gillman教授的分析计算，对于本题不难得出以下结论：
1）改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P=1/（1+q）。
其中q是当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率。
2）在当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率为1/2（即这时主持人打开2号门概率和打开3号门概率是一样的）条件下，P=2/3，玛丽莲小姐的结论是对的。
3）在当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率为1（即这时主持人总打开3号门）条件下，P=1/2，大多数读者的结论是对的。
最后谈谈本人对这个有趣问题的一点看法：
这个趣题的特点在于提法通俗易懂，答案出乎意料。不足之处是其在游戏实用中的乏味性，因为当汽车是藏在3号门后面或主持人按某规律要打开2号门时，主持人只好说:"对不起，这次不算，请重新再来一次。" 为避免这不足之处，可以在问题中去掉如果打开了3号门，即问题改为：主持人开启了另一扇后面有山羊的门。比方说你选择了1号门，但这时主持人﹙他知道汽车藏在哪扇门后面﹚打开了另两扇门的一扇，让你看到这后面是一头山羊，并对你说，现在给你一个机会，允许你改变原先的选择，请你考虑一下：是仍然选择1号门，还是改而选择另一扇没打开的门。这时，你该怎么办? 改而选择另一扇没打开的门获得汽车的概率P为多大? 这样一改，游戏时的趣味性提高了，但答案变成唯一确定的（P=2/3），问题成为一道普通的概率题而变得乏味了。真是左右为难啊！ 窃以为，问题的关键之处在于：主持人会永远打开后面是山羊的那一扇门
于是他的行为对你的选择没有影响 本帖最后由 小铃铛 于 2017-2-4 18:52 编辑
根据 Gillman教授的分析计算，对于本题不难得出以下结论：
1）改而选择2号门获得汽车﹙即汽车是藏在2号门后面﹚的概率P=1/（1+q）。
其中q是当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率。
2）在当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率为1/2（即这时主持人打开2号门概率和打开3号门概率是一样的）条件下，P=2/3，玛丽莲小姐的结论是对的。
3）在当汽车是藏在1号门后面时，主持人打开3号门的概率为1（即这时主持人总打开3号门）条件下，P=1/2，大多数读者的结论是对的。
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这段阐述的意思是，换门从而中奖的概率取决于主持人如何开两道空门，如果主持人随意开一道空门，你的概率就是2/3, 如果他嫌麻烦，总是开离他最近的空门，你的中奖概率就成1/2了。
这个结论相当精彩，我想，假如你得罪了主持人，他很可能会固定开一道空门，这样能让你失去四分之一的中奖可能。
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