有兴趣的可以对比一下方程`x^2+y^2=z^3`, 看看两者的差别有多大。
本帖最后由 282842712474 于 2017-3-17 20:18 编辑
hujunhua 发表于 2017-3-17 15:54
有兴趣的可以对比一下方程`x^2+y^2=z^3`, 看看两者的差别有多大。
设`u=x+yi`，则`u\bar{u}=z^3`，设`p|u`，`p` 是 `Z(i)` 中的素数，则`\bar{p}|\bar{u}`，`\bar{p}`也是`Z(i)`中的素数。则`p\bar{p}|z^3`，但`p\bar{p}`是`{Z}`中的素数，所以`p\bar{p}|z`，故`p^3 \bar{p}^3|z^3`，即`p^3 \bar{p}^3|u\bar{u}`。
这表明（貌似不够显然？），`u=(a+bi)^3`，`a+bi\in Z(i)`，从而
``\begin{aligned}&x=a^3-3ab^2\\&y=3a^2 b - b^3\end{aligned}``
两个方程的本原解解具有很大的相似性，方程`x^2+y^2=z^3`对应之处如下：
1、共轭解组的长度为8，缩编后长度为1. 即可以一般性规定`x>y>0`。
2、`z`的奇素因子皆是`1\pmod{4}`型。
3、`4\not\mid z`, 若`2\mid z`, 则同时有`2\mid x,2\mid y`
4、`\gcd(x,y,z)`不含立方因子。（完全相同，困为本原解的定义相同）
5、通解公式结构相似：\.
6、解数公式相同。