论坛 › 难题征解 › 从完全四点形到锐角三角形

hujunhua 发表于 2017-5-2 16:08:48

从完全四点形到锐角三角形

【猜想】完全四点形1234的三组对边之和12+34、13+24和14+23构成锐角三角形，或者最多是一个直角三角形。

如上图所示，完全四点形1234（左）的六条边配对相缀围成的三角形ABC（右）不可能是一个钝角三角形。
求一个证明或者反例。

hujunhua 发表于 2017-5-2 16:17:18

进一步问：

如果上述猜想成立，将完全四点形视为一个空间四面体时仍然成立吗？？

mathe 发表于 2017-5-2 22:02:32

任意四边形四条边的平方和等于对角线的平方和加对角线中点连线平方的4倍．

mathe 发表于 2017-5-2 22:04:23

托洛密不等式：四边形对边乘积之和≥对角线乘积。当且仅当圆内接四边形时等号成立

mathe 发表于 2017-5-2 22:06:26

由此得出胡三角形当且仅当原四边形为矩形时取等号

hujunhua 发表于 2017-5-2 23:24:17

@mathe 漂亮！对于平面四边形都成立，显然空间四面体就更加成立，而且是强不等式了。所以，这个命题应该改成：

【四面体→三角形定理】四面体的三组对边之和构成锐角三角形。

初感这等对称圆满而精练的命题，应该有一个简明、漂亮的证明，果然！

俺胡乱给了一个命名:lol ，也不知是否早有文献载有正名。擅专之处，倘请哪位前贤见谅:)

wayne 发表于 2017-5-2 23:44:06

就命名为完全四点形的胡三角形 吧，:lol

我用Geogebra 耍了很长的时间，凭着肉眼，目测总是成立的，而且貌似确实是矩形的情况下才会出现直角三角形。

hujunhua 发表于 2017-5-3 00:11:58

胡三角形，不好不好的。因为我其实要探究的是整数边的这种三角形，那岂不成了“胡整三角形”？:lol

hujunhua 发表于 2017-5-3 01:05:59

感谢mathe用了两个定理来证明它, 若只是其中一个的推论 就显得浅薄了。两个结晶方见深意。

原预计@数学星空 凭借其深厚的符号计算功夫率先给出证明的。

wayne 发表于 2017-5-3 05:04:36

mathe的两个引理都有参考链接:
http://mathworld.wolfram.com/PtolemyInequality.html
http://mathworld.wolfram.com/Quadrilateral.html

貌似都只能是对凸四边形才成立。

对于完全四点形，我在想两个连带的问题，
1) 可否把 托勒密定理(或者不等式)强化成完全四点形下的等式。
2) 在完全四点形的情况下，两个对角线的身份等同于其他对边组合的身份，结论会是怎样的

查看完整版本: 从完全四点形到锐角三角形