天平称球
昨天，上小学的侄子拿道数学题问我，说是5个乒乓球里有一个是不合格的，问能否用天平秤三次找出那个不合格的球并判断它比标准球轻还是重？后来给他分析了下，结果秤2次就能满足。对于这类问题（如总数为N），有没有通用的分析途径？例如13个球最多秤3次就行，那么最多几个球秤4次就行？最多几个球秤5次就行？……http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=1244&pid=16440&fromuid=8865 12个球的问题。
为叙述方便，我们先统一表述方法。
1、我们用2个加号把3个盒子区分开来。
第1个盒子里装的是比较轻的球。
第2个盒子里装的是比较重的球。
第3个盒子里装的是有问题的球。
2、每次过称后。
把比较轻的球装入第1个盒子。
把比较重的球装入第2个盒子。
3、重复说一遍。每次过称后都必须这样做（不能省略）。
把比较轻的球装入第1个盒子。
把比较重的球装入第2个盒子。
合格的球我们忽略不计。
4、例。
我们用0+0+12来表示共有12个有问题的球。
第一次过称后，有两种可能。
0+0+4或4+4+0
第二次过称后，有三种可能。
0+0+1或1+2+0或2+1+0
第三次过称后，只有一种可能。
0+0+0
5、中间过程，请读者自己去推敲。
6、例。
我们用0+0+36来表示共有36个有问题的球。
第一次过称后，有两种可能。
0+0+12或12+12+0
第二次过称后，有两种可能。
0+0+4或4+4+0
第三次过称后，有三种可能。
0+0+1或1+2+0或2+1+0
第四次过称后，只有一种可能。
0+0+0
7、中间过程，请读者自己去推敲。
8、这里给大家说的只是一种表述方法，肯定不是最佳推导过程。
9、当然，稍作分析，这样的表述方法还是可以再简化的。 kastin 发表于 2017-7-6 13:31
http://bbs.emath.ac.cn/forum.php?mod=redirect&goto=findpost&ptid=1244&pid=16440&fromuid=8865
对于给定一个总数N，如何进行编码？里面的EXCEL不能下载了。 题目不清楚。5个乒乓球秤2次就能满足？13个球秤3次就行？ 本帖最后由 aimisiyou 于 2017-7-6 20:11 编辑
王守恩 发表于 2017-7-6 19:56
题目不清楚。5个乒乓球秤2次就能满足？13个球秤3次就行？
除了一个球异常外，其余球都是一样的标准球。通过秤几次可以找出异常球并判断其比标准球轻还是重？ 本帖最后由 aimisiyou 于 2017-7-6 20:28 编辑
5个球称2次是不行，但13个球称3次可以。
这是一道很有意思的智力题，已有正确结果如下：
现有N个小球，其中有一个坏球不知比标准球轻还是重。
我们令H={log3(2N)}。
1)要保证在N个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称H次。
假设N≠2，我们有
2)如果N＜(3H-1)/2，那么称H次就足够了；
3)如果N=(3H-1)/2，那么称H次足以保证找到坏球，但不足以保
证知道坏球比标准球轻还是重；
4)如果N=(3H-1)/2，而且还另有一个标准球，那么称H次足以保
证找到坏球和知道，知道坏球比标准球轻还是重。
假设N=2，我们有
5)如果还另有一个标准球，称H={log3(2*2)}=2次足以保证找到
坏球和知道坏球比标准球轻还是重。
注：
{a}表示大于等于a的最小整数，比如说{2.5}=3，{4}=4；
log3表示以3为底的对数。
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