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王守恩 发表于 2017-10-23 13:07:11

本帖最后由 王守恩 于 2017-10-23 17:44 编辑

王守恩 发表于 2017-10-17 10:23
还是没有得分的解法。证明分3步走。
第1步。 设 a ≥ x＞0   (求助)
证明：2/(1+a)^(½) ...

给出第2步，第3步证明。
第2步。 设 a>1
证明：2/(1+a)^(½)+a/(8+a^2)^(½)＞(注1)2/(1+a)+a/(1+a)=(2+a)/(1+a)=1+1/(1+a)＞1
第3步。 设 x<1    即x=1/a   a>1
证明：2/(1+x)^(½)+x/(8+x^2)^(½)=2/(1+1/a)^(½)+(1/a)/(8+(1/a)^2)^(½)=2a^(½)/(1+a)^(½)+1/(1+8a^2)^(½)＜(注2)(1+2a)/(1+a)+1/(1+2a)<(1+2a)/(1+a)+1/(1+a)=2   
注1。对角相乘比较大小。因为2×(1+a)>2×(1+a)^(½)   所以   2/(1+a)^(½)>2/(1+a)
                                       因为a×(1+a)=a×(1+2a+a^2)^(½)>a×(8+a^2)^(½)   所以   a/(8+a^2)^(½)>a/(1+a)
注2。对角相乘比较大小。因为2a^(½)×(1+a)=(4a(1+a)(1+a))^(½)<((1+4a+4a^2)(1+a))^(½)=(1+2a)×(1+a)^(½)    所以   2a^(½)/(1+a)^(½)<(1+2a)/(1+a)
                                       因为1×(1+2a)=(1+4a+4a^2)^(½)<1×(1+8a^2)^(½)   所以   1/(1+8a^2)^(½)<1/(1+2a)

王守恩 发表于 2017-10-27 17:59:25

本帖最后由 王守恩 于 2017-10-27 19:31 编辑

\(a>x>0，求证：8ax<(a+x)(\sqrt{a}+\sqrt{x})^2\)

王守恩 发表于 2017-10-28 20:32:31

\(给出第2步，第3步证明。\)
\(第2步。设a>1，\)
\(证明：{2\over\sqrt{1+a}}+{a\over\sqrt{8+a^2}}＞(注1){2\over{1+a}}+{a\over{1+a}}={2+a\over{1+a}}=1+{1\over{1+a}}＞1，\)
\(第3步。设x<1，即x={1\over{a}}，a>1，\)
\(证明：{2\over\sqrt{1+x}}+{x\over\sqrt{8+x^2}}={2\over\sqrt{1+{1\over{a}}}}+{{1\over{a}}\over\sqrt{8+{1\over{a}^2}}}={{2\sqrt{a}}\over\sqrt{1+a}}+{1\over\sqrt{1+8a^2}}＜(注2){1+2a\over{1+a}}+{1\over{1+2a}}<{1+2a\over{1+a}}+{1\over{1+a}}=2，\)
\((注1)。对角相乘比较大小。\)
\(因为，2×(1+a)>2×\sqrt{1+a}，所以，{2\over\sqrt{1+a}}>{2\over{1+a}}，\)
\(因为，a×(1+a)=a×\sqrt{1+2a+a^2}>a×\sqrt{8+a^2}，所以，{a\over\sqrt{8+a^2}}>{a\over{1+a}}，\)
\((注2)。对角相乘比较大小。、\)
\(因为，2\sqrt{a}×(1+a)=\sqrt{4a(1+a)(1+a)}<\sqrt{(1+4a+4a^2)(1+a)}=(1+2a)×\sqrt{1+a}，所以，{2\sqrt{a}\over\sqrt{1+a}}<{1+2a\over{1+a}}，\)
\(因为，1×(1+2a)=\sqrt{1+4a+4a^2}<1×\sqrt{1+8a^2}，所以，{1\over\sqrt{1+8a^2}}<{1\over{1+2a}}\)

mathematica 发表于 2021-1-25 09:08:46

Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
(*换元法解决这个问题，换元成多项式，软件更容易求解*)
ff=1/a+1/b+1/c+x*((a^2-1)*(b^2-1)*(c^2-1)-8);
ans=ToRadicals@FullSimplify@Solve==0,{a,b,c,x}];
aaa=Grid
N@aaa


\[\begin{array}{llll}
a\to -\sqrt{-3} & b\to -\sqrt{-3} & c\to -\sqrt{-3} & x\to \frac{1}{48} \left((-3)^{3/4}-\sqrt{-3}\right) \\
a\to -i \sqrt{-3} & b\to -i \sqrt{-3} & c\to -i \sqrt{-3} & x\to -\frac{1}{48} i \left(\sqrt{-3}+(-3)^{3/4}\right) \\
a\to i \sqrt{-3} & b\to i \sqrt{-3} & c\to i \sqrt{-3} & x\to \frac{1}{48} i \left(\sqrt{-3}+(-3)^{3/4}\right) \\
a\to \sqrt{-3} & b\to \sqrt{-3} & c\to \sqrt{-3} & x\to -\frac{(-1)^{11/12}}{8\ 3^{3/4}} \\
a\to -(-3)^{3/4} & b\to -\sqrt{\frac{36}{49}-\frac{3 i \sqrt{3}}{49}} & c\to -(-3)^{3/4} & x\to \frac{1}{432} \sqrt{54+78 i \sqrt{3}} \\
a\to -(-3)^{3/4} & b\to -(-3)^{3/4} & c\to -\sqrt{\frac{36}{49}-\frac{3 i \sqrt{3}}{49}} & x\to \frac{1}{432} \sqrt{54+78 i \sqrt{3}} \\
a\to (-3)^{3/4} & b\to (-3)^{3/4} & c\to \frac{1}{7} \sqrt{36-3 i \sqrt{3}} & x\to \frac{1}{432} \left((-3)^{3/4}-9 \sqrt{-3}\right) \\
a\to (-3)^{3/4} & b\to \frac{1}{7} \sqrt{36-3 i \sqrt{3}} & c\to (-3)^{3/4} & x\to \frac{1}{432} \left((-3)^{3/4}-9 \sqrt{-3}\right) \\
a\to -\sqrt{3} & b\to -\sqrt{3} & c\to -\sqrt{3} & x\to -\frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
a\to \sqrt{3} & b\to \sqrt{3} & c\to \sqrt{3} & x\to \frac{1}{24 \sqrt{3}} \\
a\to -\sqrt{-1} 3^{3/4} & b\to -\sqrt{-1} 3^{3/4} & c\to \frac{1}{7} \sqrt{36+3 i \sqrt{3}} & x\to -\frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to -\sqrt{-1} 3^{3/4} & b\to \frac{1}{7} \sqrt{36+3 i \sqrt{3}} & c\to -\sqrt{-1} 3^{3/4} & x\to -\frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to \sqrt{-1} 3^{3/4} & b\to -\frac{1}{7} \sqrt{36+3 i \sqrt{3}} & c\to \sqrt{-1} 3^{3/4} & x\to \frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to \sqrt{-1} 3^{3/4} & b\to \sqrt{-1} 3^{3/4} & c\to -\frac{1}{7} \sqrt{36+3 i \sqrt{3}} & x\to \frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to -\sqrt{\frac{36}{49}-\frac{3 i \sqrt{3}}{49}} & b\to -(-3)^{3/4} & c\to -(-3)^{3/4} & x\to \frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}+\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to \frac{1}{7} \sqrt{36-3 i \sqrt{3}} & b\to (-3)^{3/4} & c\to (-3)^{3/4} & x\to -\frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}+\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to -\frac{1}{7} \sqrt{36+3 i \sqrt{3}} & b\to \sqrt{-1} 3^{3/4} & c\to \sqrt{-1} 3^{3/4} & x\to \frac{1}{72} \sqrt{\frac{3}{2}-\frac{13 i}{2 \sqrt{3}}} \\
a\to \frac{1}{7} \sqrt{36+3 i \sqrt{3}} & b\to -\sqrt{-1} 3^{3/4} & c\to -\sqrt{-1} 3^{3/4} & x\to -\frac{1}{432} \sqrt{54-78 i \sqrt{3}} \\
\end{array}\]

\[
\begin{array}{llll}
a\to -0.930605-0.930605 i & b\to -0.930605-0.930605 i & c\to -0.930605-0.930605 i & x\to -0.0529679+0.0141927 i \\
a\to 0.930605\, -0.930605 i & b\to 0.930605\, -0.930605 i & c\to 0.930605\, -0.930605 i & x\to 0.0529679\, +0.0141927 i \\
a\to -0.930605+0.930605 i & b\to -0.930605+0.930605 i & c\to -0.930605+0.930605 i & x\to -0.0529679-0.0141927 i \\
a\to 0.930605\, +0.930605 i & b\to 0.930605\, +0.930605 i & c\to 0.930605\, +0.930605 i & x\to 0.0529679\, -0.0141927 i \\
a\to 1.61185\, -1.61185 i & b\to -0.859361+0.0616993 i & c\to 1.61185\, -1.61185 i & x\to 0.0231187\, +0.0156565 i \\
a\to 1.61185\, -1.61185 i & b\to 1.61185\, -1.61185 i & c\to -0.859361+0.0616993 i & x\to 0.0231187\, +0.0156565 i \\
a\to -1.61185+1.61185 i & b\to -1.61185+1.61185 i & c\to 0.859361\, -0.0616993 i & x\to -0.0231187-0.0156565 i \\
a\to -1.61185+1.61185 i & b\to 0.859361\, -0.0616993 i & c\to -1.61185+1.61185 i & x\to -0.0231187-0.0156565 i \\
a\to -1.73205 & b\to -1.73205 & c\to -1.73205 & x\to -0.0240563 \\
a\to 1.73205 & b\to 1.73205 & c\to 1.73205 & x\to 0.0240563 \\
a\to -1.61185-1.61185 i & b\to -1.61185-1.61185 i & c\to 0.859361\, +0.0616993 i & x\to -0.0231187+0.0156565 i \\
a\to -1.61185-1.61185 i & b\to 0.859361\, +0.0616993 i & c\to -1.61185-1.61185 i & x\to -0.0231187+0.0156565 i \\
a\to 1.61185\, +1.61185 i & b\to -0.859361-0.0616993 i & c\to 1.61185\, +1.61185 i & x\to 0.0231187\, -0.0156565 i \\
a\to 1.61185\, +1.61185 i & b\to 1.61185\, +1.61185 i & c\to -0.859361-0.0616993 i & x\to 0.0231187\, -0.0156565 i \\
a\to -0.859361+0.0616993 i & b\to 1.61185\, -1.61185 i & c\to 1.61185\, -1.61185 i & x\to 0.0231187\, +0.0156565 i \\
a\to 0.859361\, -0.0616993 i & b\to -1.61185+1.61185 i & c\to -1.61185+1.61185 i & x\to -0.0231187-0.0156565 i \\
a\to -0.859361-0.0616993 i & b\to 1.61185\, +1.61185 i & c\to 1.61185\, +1.61185 i & x\to 0.0231187\, -0.0156565 i \\
a\to 0.859361\, +0.0616993 i & b\to -1.61185-1.61185 i & c\to -1.61185-1.61185 i & x\to -0.0231187+0.0156565 i \\
\end{array}
\]

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