lnx/x=lnlnx/lnx
\(\D \frac{\ln x}{x}=\frac{\ln(\ln x)}{\ln x}\)，求 \(x=?\) 5.4444727541545141416855065051707898147FindRoot/x - Log@Log/Log, {x, 5}, MaxIterations -> 1000,
WorkingPrecision -> 100, AccuracyGoal -> 100]
求解结果
{x -> 5.44447275415451414168550650517078981472403489629230191645529766\
9762099145031151405944166519221842226} mathe 发表于 2017-11-3 13:35
5.4444727541545141416855065051707898147
Log/x与Log@Log/Log
都无限接近于零，能否证明这个
方程只有一个实数解呢？
mathematica 发表于 2018-12-30 12:55
Log/x与Log@Log/Log
都无限接近于零，能否证明这个
方程只有一个实数解呢？
当x>e的时候，方程Log/x是减函数
Log/x的导数是(1 - Log)/x^2
因此当x>e^e=15.154262241479264189760430272629911905528548536856139769140746405时。
此时Log/x比Log@Log/Log小，
而Log/x与Log@Log/Log都趋向于0，所以
Log/x-Log@Log/Log在区间(e^e,正无穷大)上无解。
剩下的就是证明在区间(1, e^e)上只有一个根，这个我只会画图像
不过函数Log/x-Log@Log/Log在x=172.165附近有个极小值，挺有意思的 设$f(x)=x\log(\log(x))-\log^2(x)$
显然在$1<x<=e$时，$f(x)<0$
而在$x>e$时
$f'(x)=\log(\log(x))+1/{\log(x)}-{2\log(x)}/x$
$f''(x)=1/{x\log(x)}-1/{x\log^2(x)}-2/{x^2}+{2\log(x)}/x^2=(log(x)-1)(1/{x\log^2(x)}+2/{x^2})>0$
所以$f'(x)>f'(e)=0+1-2/e>0$
由此我们得出在$x>e$时$f(x)$单调增
所以${f(x)}/{x\log(x)}={\log(\log(x))}/{\log(x)}-{\log(x)}/x$在$x>e$最多一个零点
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