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标题: 全部由1,3,5,7,9组成的素数由多少个 [打印本页]

作者: 数论爱好者 时间: 2022-4-10 20:04
标题: 全部由1,3,5,7,9组成的素数由多少个
把素数分成两类:一类只含有1,3,5,7,9的数字,另一类则含有0,2,4,6,8数字的素数.
那么,在10^10的455052511个素数中,全部由1,3,5,7,9组成的素数由多少个?
可能要分段统计,比如100里面的25个素数,含有0,2,4,6,8数字的素数2,23,29,41,43,47,61,67,83,89,共计10个,那么
全部由1,3,5,7,9组成的素数有25-10=15个
是不是全部由1,3,5,7,9组成的素数会多一些?

10^10的455052511个素数中,4n+1型素数有多少?4n+3型素数有多少?哪种类型的素数多一些?

作者: northwolves 时间: 2022-4-10 23:35
Number of primes of the form 4k+1 less than 10^n.
1, 11, 80, 609, 4783, 39175, 332180, 2880504, 25423491, 227523275, 2059020280, 18803924340, 173032709183, 1602470783672, 14922284735484, 139619168787795, 1311778575685086, 12369977142579584, 117028833597800689, 1110409801150582707
Number of primes of the form 4k+3 less than 10^n.
2, 13, 87, 619, 4808, 39322, 332398, 2880950, 25424042, 227529235, 2059034532, 18803987677, 173032827655, 1602470967129, 14922285687184, 139619172246129, 1311778581969146, 12369977145161275, 117028833678543917, 1110409801410336132

作者: 数论爱好者 时间: 2022-4-11 07:14
A091098 https://oeis.org/A091098
4k + 1小于10^n形式的素数数。第一列为指数n值,第二列为统计素数个数
1 1
2 11
3 80
4 609
5 4783
6 39175
7 332180
8 2880504
9 25423491
10 227523275
11 2059020280
12 18803924340
13 173032709183
14 1602470783672
15 14922284735484
16 139619168787795
17 1311778575685086
18 12369977142579584
19 117028833597800689
20 1110409801150582707
A091099 4k+3 形式的素数数量小于 10^n。
1 2
2 13
3 87
4 619
5 4808
6 39322
7 332398
8 2880950
9 25424042
10 227529235
11 2059034532
12 18803987677
13 173032827655
14 1602470967129
15 14922285687184
16 139619172246129
17 1311778581969146
18 12369977145161275
19 117028833678543917
20 1110409801410336132

经统计,4k+3型素数是一直大于4k+1型素数的

作者: 数论爱好者 时间: 2022-4-11 07:32
本帖最后由数论爱好者于 2022-4-11 17:17 编辑

已经解决了把素数分成两类的一种分类:4k+1与4k+3
全部由1,3,5,7,9组成的素数还没有解决,允许1,3,5,7,9重复使用

作者: 数论爱好者 时间: 2022-4-11 09:30
https://oeis.org/A030096
https://oeis.org/A030096/b030096.txt前1万个由奇数组成的素数
没有找到需要的资料

作者: 282842712474 时间: 2022-4-12 15:05
用Mathematica暴力算：

n = PrimePi[10^8];
Sum[If[MemberQ[IntegerDigits[Prime[i]], _?EvenQ], 0, 1], {i, 1, n}]

复制代码

结果：
$$\begin{array}{c|c}
\hline
10^1 &  3 / 4\\
10^2 &  15 / 25\\
10^3 &  57 / 168\\
10^4 &  182 / 1229\\
10^5 &  790 / 9592\\
10^6 &  3217 / 78498\\
10^7 &  13298 / 664579\\
10^8 &  56866 / 5761455\\
10^9 & 254689 / 50847534 \\
\hline
\end{array}
$$

后面算起来太费劲了。

作者: 数论爱好者 时间: 2022-4-14 02:08
10^1,3,
10^2,3*4=12≈15,
10^3,15*4=60≈57,
一直到10^9,都是4倍到5倍之间,据此预测
10^10时,由纯奇数组成的素数个数大约在1018756～1273455之间

作者: northwolves 时间: 2022-11-27 11:57
10^9时,由纯奇数组成的素数个数大约在250424-258051之间，准确值 254689/50847534
10^10时,由纯奇数组成的素数个数大约在1120566-1154695之间，准确值 1128121/455052511
10^11时,由纯奇数组成的素数个数大约在5070354-5224782之间，准确值 5106701/4118054813
10^12时,由纯奇数组成的素数个数大约在23152370-23857519之间，准确值 23266331/37607912018
10^13时,由纯奇数组成的素数个数大约在105982570-110308389之间，准确值 107019385/346065536839
10^14时,由纯奇数组成的素数个数大约在490756705-510787591之间，准确值？
10^15时,由纯奇数组成的素数个数大约在2284974922-2378239205之间，准确值？
10^16时,由纯奇数组成的素数个数大约在10689592742-11125902650之间，准确值？
10^17时,由纯奇数组成的素数个数大约在50216523720-52266177750之间，准确值？
10^18时,由纯奇数组成的素数个数大约在236769093769-246433138413之间，准确值？
10^19时,由纯奇数组成的素数个数大约在1120002509427-1165716897567之间，准确值？
10^20时,由纯奇数组成的素数个数大约在5313484400658-5530361314971之间，准确值？

作者: northwolves 时间: 2022-11-27 12:02
对于a(14) 的计算，在总计3204941750802素数中，大约只有1/6468 的素数满足条件，估计a(14)在495584000左右。

作者: northwolves 时间: 2022-11-27 19:14
$a(14)=494689488$, $\frac{a(14)}{\pi(10^14)}=494689488/3204941750802≈1/6479$

作者: 数论爱好者 时间: 2022-12-9 08:43
northwolves先生,你的估计值精确度是如此之高,能精确到首位(最高位)有两位准确数字,但你又不公布你是如何计算得出来的。这个问题折磨了我好久,我推倒了好几个晚上,得出一个位数基本准确,精确值比你的略低,但可以推广至无穷的万能估计公式.在此希望你改进我的系数值,以此求得跟高精度.先前几个用10^n的精确素数分布值计算
25/2*1.32=16.5
168/4*1.32=55.44
1229/8*1.32=202
9592/16*1.32=791
以后的素数分布值统一用黎曼猜想的简单公式代替,输入真实值太麻烦,
Li(10^n)/2^(n-1)*1.32...
2^n的指数与10^n的指数n相同,1.32...来源于孪生素数分布系数值的2倍,这个值是待推定并希望得到你的改进.
具体计算见图
到10^19时,1/20641,比你的1/6479小多了

作者: 数论爱好者 时间: 2022-12-9 12:19
在这个帖子上再统计一种类型,除末尾个位数是1,3,7,9外,其余的十位,百位,千位,万位…都是偶数类型的素数个数统计
1位3个:3,5,7
2位9个
23,29,41,43,47,61,67,83,89
3位数31个
223,227,241,263,269,281,283,401,409,421,443,449,461,463,467,487,607,641,643,647,661,683,809,821,823,827,829,863,881,883,887
4位数120个
2003,2027,2029,2063,2069,2081,2083,2087,2089,2203,2207,2221,2243,2267,2269,2281,2287,2423,2441,2447,2467,2609,2621,2647,2663,2683,2687,2689,2801,2803,2843,2861,2887,4001,4003,4007,4021,4027,4049,4201,4229,4241,4243,4261,4283,4289,4409,4421,4423,4441,4447,4463,4481,4483,4603,4621,4643,4649,4663,4801,4861,4889,6007,6029,6043,6047,6067,6089,6203,6229,6247,6263,6269,6287,6421,6427,6449,6469,6481,6607,6661,6689,6803,6823,6827,6829,6841,6863,6869,6883,8009,8069,8081,8087,8089,8209,8221,8243,8263,8269,8287,8423,8429,8443,8447,8461,8467,8609,8623,8627,8629,8641,8647,8663,8669,8681,8689,8803,8807,8821,8849,8861,8863,8867,8887
以下累计数字统计
10^1时3个
10^2时12个
10^3时43个
10^4时163个
10^5时?个
这个系列如何算?是不是上个系列的1.32..不用乘,或者系数在1.2以下

作者: nyy 时间: 2022-12-9 13:42

数论爱好者发表于 2022-12-9 08:43
northwolves先生,你的估计值精确度是如此之高,能精确到首位(最高位)有两位准确数字,但你又不公布你是如何计 ...

说实话，maple真的不怎么样，不建议你用maple，用mathematica吧

作者: northwolves 时间: 2022-12-9 18:20
3位数31个
223,227,241,263,269,281,283,401,409,421,443,449,461,463,467,487,607,641,643,647,661,683,809,821,823,827,829,863,881,883,887
-----------------------------------------------
33个。229和601漏了

作者: northwolves 时间: 2022-12-9 18:28
1 3
2 9
3 33
4 126
5 448
6 1941
7 8214
8 35934
9 155927
10 701968

作者: 数论爱好者 时间: 2022-12-9 20:19
如果1至10^n累加计算，而不单独分段统计，逼近仍符合10^n的素数分布值除以2^（n-1），系数随着数的增大趋向于1

作者: northwolves 时间: 2022-12-23 08:54
记录已更新：Number of primes < 10^n whose digits are all odd.

10^9时,由纯奇数组成的素数个数大约在250424-258051之间，准确值 254689/50847534
10^10时,由纯奇数组成的素数个数大约在1120566-1154695之间，准确值 1128121/455052511
10^11时,由纯奇数组成的素数个数大约在5070354-5224782之间，准确值 5106701/4118054813
10^12时,由纯奇数组成的素数个数大约在23152370-23857519之间，准确值 23266331/37607912018
10^13时,由纯奇数组成的素数个数大约在105982570-110308389之间，准确值 107019385/346065536839
10^14时,由纯奇数组成的素数个数大约在490756705-510787591之间，准确值 494689488/3204941750802
10^15时,由纯奇数组成的素数个数大约在2284974922-2378239205之间，准确值 2306491761/29844570422669
10^16时,由纯奇数组成的素数个数大约在10689592742-11125902650之间，准确值 10758057302/279238341033925
10^17时,由纯奇数组成的素数个数大约在50216523720-52266177750之间，准确值 50548874979/2623557157654233
10^18时,由纯奇数组成的素数个数大约在236769093769-246433138413之间，准确值？/24739954287740860
10^19时,由纯奇数组成的素数个数大约在1120002509427-1165716897567之间，准确值？/234057667276344607
10^20时,由纯奇数组成的素数个数大约在5313484400658-5530361314971之间，准确值？/2220819602560918840

作者: northwolves 时间: 2023-1-14 22:21

数论爱好者发表于 2022-12-9 12:19
在这个帖子上再统计一种类型,除末尾个位数是1,3,7,9外,其余的十位,百位,千位,万位…都是偶数类型的素数个数 ...

n = 7; Length[
Select[Prime[Range[2, PrimePi[10^n]]],
AllTrue[Most[IntegerDigits[#]], EvenQ] &]]

复制代码

10774

作者: northwolves 时间: 2023-1-14 22:23

from sympy import primerange
def a(n):
p=list(primerange(3,10**n))
return(sum(1 for k in p if sum(str(k).count(d) for d in '13579')==1))
print([a(n) for n in range(1,7)])

复制代码

[3, 12, 45, 171, 619, 2560]

作者: northwolves 时间: 2023-1-14 22:23
$a(1)-a(15):[3, 12, 45, 171, 619, 2560, 10774, 46708, 202635, 904603, 4073767, 18604618, 85445767, 395944114, 1837763447]$

作者: northwolves 时间: 2024-2-17 19:03
$a(1)-a(16):\ \{3, 12, 45, 171, 619, 2560, 10774, 46708, 202635, 904603, 4073767, 18604618, 85445767, 395944114, 1837763447,8600149593\}$

作者: northwolves 时间: 2025-2-27 00:16
更新到 a(17)了
A358690
Number of n-digit primes whose digits are all odd.

3, 12, 42, 125, 608, 2427, 10081, 43568, 197823, 873432, 3978580, 18159630, 83753054, 387670103, 1811802273, 8451565541, 39790817677

A358685
Number of primes < 10^n whose digits are all odd.
3, 15, 57, 182, 790, 3217, 13298, 56866, 254689, 1128121, 5106701, 23266331, 107019385, 494689488, 2306491761, 10758057302, 50548874979

作者: 数论爱好者 时间: 2025-2-28 08:32

northwolves 发表于 2025-2-27 00:16
更新到 a(17)了
A358690
Number of n-digit primes whose digits are all odd.

用机器人研究此问题，根据你给出的数据，预测更大的值

作者: 数论爱好者 时间: 2025-2-28 11:26

数论爱好者发表于 2025-2-28 08:32
用机器人研究此问题，根据你给出的数据，预测更大的值

不能太相信机器人，最近我发觉错误率很高，有些问题给出的答案是错误的
它根本没有计算验证，直接偷懒，照搬数据，很漂亮，一般偷懒的人，或知识储备不丰富的人，过于相信机器人的人要吃亏。上面它给的验证数据错误，只能是位数正确，其他并无参考价值

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