数学研发论坛

标题: 均分田地，田埂最短问题 [打印本页]
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 08:54
标题: 均分田地，田埂最短问题
有一块田地需要分给 [TeX]n[/TeX] 户，要求各户分得面积相等，
田地内部不同户分得的区域将建田埂以分隔（原待分地已有田埂圈定）。
现为实现耕地面积最大化，要求新建田埂总长度最小。请问如何规划？
[jh]通过大家的齐心协力，终于找到了最佳“秘诀”！[/jh]
注：
1、分后新修的田埂对所分面积均等性的影响忽略不计；
2、允许“孤立”田埂的出现，如内部可出现一个“圆田埂”；
3、允许各户分得的田地不连通，即块数可以不止一块。


大家可先来做具体化一点的：
如果是一个单位正方形田地，[TeX]n[/TeX] 分别等于 2、3、4、5、6、7、8、9、…… 时，该如何操作？新建田埂总长度为多少？


补记：
近期 KeyTo9_Fans 发出了系列最优化问题，比如：火车站的最佳位置、最优美的轨道，
受此影响，也提一个类似问题。
不过我没有 KeyTo9_Fans 那么会生动的描述，
而且问题也要简单得多（甚至不知是否已有人系统研究过）。


当前最优结果
单位圆
nlwherewho
10--
22--
3342#KeyTo9_Fans
43.94570296784# mathe
54.83384664487#mathe
65.4067969399#mathe
7695#
数据参考数学星空
31#
mjs1wh
86.647231018104#数学星空

更多结果在176#
高精度结果在186#


正方形
nlwherewho
10--
21--
31.62327814413#KeyTo9_Fans
41.97559288513#KeyTo9_Fans
52.50211293011#KeyTo9_Fans
62.939946252114#mathe
73.280726464116#mathe

更多结果在177#
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 09:28
[TeX]n = 4[/TeX] 时最简单，
过正方形中心，平行于边纵横各划一条线即可，总长度为 2

修正：在13# KeyTo9_Fans 给出了更优的方案，可缩小为：1.9755...
作者: showjim    时间: 2010-11-11 09:57
感觉可以贪心二分，不知道对不对
作者: mathe    时间: 2010-11-11 10:08
应该可以证明如果田地是凸形，那么最优划分，所有田埂都是直线段
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 10:23
4# mathe


也不见得吧？
正三角形均分面积的最短曲线好像是以其中一个顶点为圆心的圆弧。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 10:52
当 [TeX]n=5[/TeX] 时，
方案一：可以用四条线段组成一个大风车的形状，中间隔出一个小正方形面积=1/5，
此时总长[TeX]=(2+2sqrt(1/5))=2.8944...[/TeX]

方案二：以原正方形中心为圆心画一个圆，使之面积=1/5，而后过中心平行于四边做直线，仅保留正方形与圆之间的4条线段，
此时总长[TeX]=(2+(2\pi-4)*sqrt(1/(5\pi)))=2.5760...[/TeX]
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 11:10
上述方案一的四条线段是平行于原正方形四边的，不知将“大风车”旋转一定角度后是否可以更短点？
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 13:18
方案三：作一个小正方形，使其面积=1/5，中心与原正方形的中心重合，但旋转45°，再过小正方四顶点向大正方形最邻近边引垂线，
这样得到的总长度[TeX]=(2+(4-2sqrt2)sqrt(1/5))=2.5239...[/TeX]
作者: zgg___    时间: 2010-11-11 16:36
感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析，呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是：1、是直线或圆弧（直线也可以看成圆弧啦）；2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分，可以下面的图也可能是一种分法。
(, 下载次数: 83)
作者: gxqcn    时间: 2010-11-11 17:08
楼上这个图形我曾考虑过，
但因为中间的那块面积是固定的，而边缘却是内凹的，四个角太锋利，估计会比较费周长。
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-11 19:38
如果中间的田地由$4$段$30$度的圆弧组成，如下图所示：

(, 下载次数: 40)

那么总长度为$2*(1-\sqrt(2)*a)+\pi*(\sqrt(2)+\sqrt(6))*a/3$

约等于$2.5021129304271862327055851940087$

其中，$a=\sqrt(3)/\sqrt(5*(2+sqrt(3))*(pi-3)+15)$
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-11 23:56
当$N=4$时，不知道这种方案是否更优？

(, 下载次数: 28)

#####

如果两个角落都由$2$条$30$度的圆弧围成，那么总长度约为

$1.9969623818645855280430050484496$

比直接分成$4$个小正方形的方案略优。
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-12 01:28
本帖最后由 KeyTo9_Fans 于 2010-11-12 01:44 编辑

当$N=3$时，一种可行解是：

横切一刀，分成面积为$1/3$和$2/3$的两个矩形；

然后在面积$2/3$的矩形上竖切一刀，分成两个面积为$1/3$的矩形。

总长度为$5/3$。

如果横切一刀改成两段$30$度的圆弧线，如下图所示：

(, 下载次数: 22)

那么总长度约为

$1.6232781441571848631256354825897$

比$5/3$略优。

猜想：上面几幅图所展示的$N=5$、$N=4$、$N=3$的方案中，设圆弧线的度数为$x$，则$x$为$30$时，总长度最短。

#####

更正：

当$N=4$时应该是$15$度。
(, 下载次数: 23)
此时总长度为

$1.9755928847815005159164652585136$。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 07:32
在 [TeX]N=5[/TeX] 时，我直觉感觉中间的那个正方形“太正”，四边可以略微弯一点，但不知该朝哪侧弯，
感谢 KeyTo9_Fans 的解答，并纠正了我之前 [TeX]N=4[/TeX] 的“想当然”造成的错误。

比较好奇的是：KeyTo9_Fans 为什么会想到那些弧线度数为30°或15°？
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 07:45
会不会所求的田埂构成除了由线段及圆弧外，还可能含有其它类型曲线？

我认为不大可能。因为我们的问题是线总长最短问题，
而线段具有“两点之间线段最短”的特性，以及圆具有“面积相等周长圆最小”的特性，
所以，这两类曲线有其自身的优越性。

但在严格证明之前，暂无法排除有其它曲线出现的可能，
尤其是当待分地块本身就是由任意曲线围成时。

这个问题粗看似乎简单：不涉及到微积分运算，比较初等，
但现在看来，似乎也并不简单。
作者: mathe    时间: 2010-11-12 08:41
Fans 11#的答案正好是他这种模式的图形中最有的，挺神奇的。
设正方形边长为1，假设这种图形中中间4段圆弧弧度为2t,对应半径为r,那么我们知道中间部分面积为
$4r^2(t-1/2sin(2t)+sin^2(t))=1/5$
而田埂总长度为$8rt+2(1-2sqrt(2)rsin(t))=2+4r(2t-sqrt(2)sin(t))$
根据第一个条件可以得出$r^2=1/{20(t-1/2sin(2t)+sin^2(t))}$
而我们要求$r(2t-sqrt(2)sin(t))$最小，也就是$r^2(2t-sqrt(2)sin(t))^2$最小
将$r^2$消去，变成求函数${(2t-sqrt(2)sin(t))^2}/{t-1/2sin(2t)+sin^2(t)}$的最小值的条件。
比较有意思的是这么复杂的一个函数，它的最小值竟然正好在$t=pi/12$时取到（通过数值计算100位验证，但是没有严格证明）
作者: mathe    时间: 2010-11-12 10:30
12# KeyTo9_Fans
hujunhua提到三条线交叉的点出夹角应该是${2pi}/3$, 并且圆弧应与既有边界保持垂直，不知道有什么理论依据，不过感觉这个结论应该很正确。于是对于12#的这种方案，我们应该选择两个中间的点都是三个夹角各${2pi}/3$,并且各个圆弧同边界相垂直，如图：
(, 下载次数: 35)
由此，得出四条圆弧应该都是15度($pi/12$)，于是最终总长度为
1.9755928847815
其中大圆半径为$sqrt({3*sqrt(2)}/{sqrt(2)pi-12sin(pi/12)})$
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 10:37
果然是强人啊！
hujunhua 评分里的描述我读了几遍，还有点迷迷糊糊，幸亏有 mathe 进行了上面的描述。
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-12 10:53
理论依据是：

设三角形$ABC$，最大的角小于$120$度。

在三角形内部找一个点$P$，使得$|PA|+|PB|+|PC|$最小，

那么$/_APB=/_BPC=/_CPA=120^@$。

#####

如下图所示，如果$3$条曲线的交角不是$120$度，我们总可以调整成$120$度。

(, 下载次数: 28)

造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 10:56
费马点？
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-12 11:33
最佳的划分应该满足以下$3$个条件：

$1$. 曲线中间没有尖角。

如果曲线中间有尖角$O$，我们可以在$O$点附近找两个点$A$、$B$连起来。如下图所示：

(, 下载次数: 36)

造成的面积差异可通过旋转三角形$AOB$外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。

$2$. 与正方形边界相接的地方垂直边界。

如果不垂直边界，我们可以在边界附近找一个点$A$，作$A$与边界的垂线。如下图所示：

(, 下载次数: 29)

造成的面积差异可通过旋转三角形$APP'$外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。

$3$. 内部曲线的交角为$120$度。

$19#$已经解释了。

#####

还有一个必要条件：

$4$. 在一段曲线上任取两点$A$、$B$，则$AB$之间的曲线位于线段$AB$的同一侧。

如果$AB$之间的曲线位于线段$AB$的两侧，设交点为$O$，$AO$段曲线围成的面积较小，如下图所示：

(, 下载次数: 25)

则连接$AO$，造成的面积差异可使$BO$段曲线更贴近线段$AB$。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了。
作者: zgg___    时间: 2010-11-12 11:37
按照9层根据力学的观点，我们可以把“田埂”看成在盒子里的“肥皂泡”。
“肥皂泡”总是趋向于能量最低的形态，及希望收缩到最短。

这些边界把田地分为不同的小块，每个小块对应于一个压强，当系统稳定，即总长度在局部呈现极值时，应满足：
1、相邻两块的压强差P=dT/dl=T/R，其中T是边界的“应力”，R是边界的曲率半径；（这个解释了为什么都是圆弧。）
2、在接点处受力平衡，由于所有的“肥皂泡”应力T都是恒定的，故在3分的连接点将均分360度，在边界点将垂直于盒子边（盒子边的应力是无穷大）；
3、调整各块的P，相当于调整各块的面积S，也可以直接用S来算。

PS：9层中说的第2：在接点处相切是不对的，呵呵。
作者: hujunhua    时间: 2010-11-12 11:57
结晶学理论。我的专业基础课，所以比较熟。

把这个正方形想像成一个深1mm、边长1cm的浅玻璃皿，向其中倒入5种等比重、等体积的理想液体，这5种液体彼此完全不相溶，两两之间的界面张力也都相等。它们与玻璃的界面能彼此相等，与空气的界面能也彼此相等。那么这五种液体就会在玻璃皿中形成11#那样的分布，如果11#的结果就是最小解的话。原因在于，当这五种液体自发地达到稳定平衡状态时，系统应该处于最低自由能状态，这里自由能就是界面能——正比于界面面积。下面来详细说分析。

1、液体不会在深度上分层，因为这样会在水平方向产生界面，而水平方向的界面比深度方向大多了。
2、由于流体静压平衡，于是五种液体液面平齐，深度相等，于是液面面积保持相等。
3、液体与玻璃和空气的界面能是定值，欲使界面能最低，也就是使五种液体彼此间的界面面积最小，即它们在液面上的界线总长最短。
4、这时，Y形交叉点处界面张力处于平衡，由于3个张力大小相等，所以切线夹角为120°
5、与玻璃皿壁相交的界线，由于张力平衡，必定与玻璃皿壁垂直。
6、界线只能是直线和圆弧，这是因为界线上各处的张力（切向）相等，而液压（法向）也处处相等，所以曲率必定也处处相等
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 14:59
突然想到，这个问题与蜂窝状用料最省可能相关，
当 [TeX]n[/TeX] 足够大时，内部肯定出现“蜂窝”状，
因为等角六边形的几个内角全部是[TeX]120^@[/TeX]，正好符合大家找到的规则。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 15:03
对于这个问题，我感觉应把两类地块均分问题研究透点：正方形□与圆形○，
因为这两种形状现实意义比较大；
最好是逐步加大 [TeX]n[/TeX]，直到出现“等角六边形”，乃至局部出现“蜂窝状”为止。
大家再一起努力啊。。。
作者: hujunhua    时间: 2010-11-12 16:49
等我有空了在实验室做一下肥皂膜试验，将照片传上来。

试验材料：

大一点的肥皂泡是夹在玻璃皿的底面和盖之间的柱面，多个泡泡正可模拟这个问题的解。
作者: mathe    时间: 2010-11-12 16:52
理论依据是：
....
造成的面积差异可通过旋转三角形外的曲线弥补。

于是调整后仍然满足平分面积的条件，但是总长度缩短了

感觉这部分理由不够充分
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 16:56
26# hujunhua


肥皂泡实验可能对“费马点”的选取有参考意义。
本问题难就难在需每个肥皂泡“等积”，
另外不知两肥皂泡分界线是否会弯成圆弧？
因为通常观察到的好像都是直的。

不过还是非常期待 hujunhua 伟大的实验。。。
作者: mathe    时间: 2010-11-12 17:00
我觉得应该可以直接讨论更加一般的结论
如果不限定是不同部分面积不同，比如将单位正方形划分成三个部分，其中面积分别是事先给定的$S_1,S_2,S_3$,其中$S_1+S_2+S_3=1$,而要求边界总长度最短，那么也应该有相同的性质：
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段（可以看成圆弧的退化情况）
ii)在内部，最多三个不同的分界线共点，这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直
作者: gxqcn    时间: 2010-11-12 17:07
比较赞同上面的观点。

但不知如何最短6等分正方形？
因为我想的最简单就是“两横一竖”，违背了 ii)
mathe 可想想有什么好方案？
作者: mjs1wh    时间: 2010-11-13 13:34
hujunhua 的实验值得期待，更对红色肥皂水配方感兴趣，肥皂泡膜这么溥，白色的也成五颜六色了，不知还能不能显出本色来。
当n很大时，中心部分应该就是“蜂窝状”了，估计○形内n=7时，中心就是一个正六边形了
作者: mathe    时间: 2010-11-14 13:02
这个题目应该可以计算机模拟一下。
比如假设有n种不同的质点，每种质点有k个，分布在一个正方形中，任意两个质点之间有排斥力$c/{r^u}$,其中
c是常数，根据两个质点是否同一种可以取两个不同的值（不同物质之间排斥力略大）。而其中u我不知道取多少比较合理，也许是1或2.
然后看模型状态平稳下来以后是何状态，很可能就可以给出本题一些比较合理的解。
作者: mjs1wh    时间: 2010-11-14 18:55
多质点模拟很不容易，我以前做过多天体的模拟，很不成功，很难达到平稳的状态
作者: mathe    时间: 2010-11-14 20:10
我们只需要求稳定状态，实际上是解一个高阶方程
作者: gxqcn    时间: 2010-11-15 07:47
31# mjs1wh


对圆7等分，确实比较简单，中间一个正六边形，再从顶点向外辐射连接到圆周上，总长度=6倍圆半径。
如果不强求面积的均等性，中间的正六边形可以收缩，仍然可以满足稳定性，且总长度保持不变。

由此，提出两个新问题：
1、当中间的正六边继续收缩直至成一个点时（即当n=7坍塌成n=6时），此时破坏了我们先前归纳的规律，如何形成一个新的平衡？是什么样子？
2、原问题不同构的最佳解是否唯一？（同构解是指：经过有限次的旋转、镜像、平移及其组合过程，一解可转化成另一解）
作者: mathe    时间: 2010-11-16 13:15
参考火车站问题n=6的解，我们可以构造如下图类型的图案:
(, 下载次数: 21)
图片上下对称，其中4条圆弧全部是30度圆弧。
这个应该比等分六份强。只是具体计算坐标还是挺复杂的。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-16 14:48
我当时就是看到 Key 版出的这个车站题目，以及大家画的一些图形，
才联想到这个问题的，当时就感觉到它们也许可以相互借鉴。
只是这里的分界线（“田埂”）不再局限于线段，比较难处理。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-16 14:58
36# mathe


比较好奇，为什么GH、JK 及 HK 段没有假设成弧线？
作者: mathe    时间: 2010-11-16 16:35
我们可以利用角度来推断。
比如AEGNF等四个“五边形”中，我们知道内角和要求是90*3+120*2=510,比正常五边形小30度
所以只要一条凹向内部的30度弧就可以到达调整的目的。
而AEGNF中FN根据对称性应该是直线段，比较合适的是调整NG.
然后计算五边形NGHJK,在经过NG和NJ角度的调整后，总角度已经匹配，所以这时我选择GH,HK,KJ都是直线段。
作者: wayne    时间: 2010-11-16 17:06
好题。
很想参与进来。。。
在我印象中，国外有专门讨论过这种类型的划分问题的，只可惜我一时还没有搜着
作者: gxqcn    时间: 2010-11-19 10:45
下面讨论半径为1的圆，$n$ 等分问题。

$n=7$ 时，前已讨论，中间一正六边形，顶点向圆周辐射，总边界长度=6；

$n=6$ 时，中间一梅花形，每瓣是以2.574半径为半径，12°为圆心角的圆弧，5个顶点向圆周辐射（各长0.5423），总边界长度=5.407
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-19 15:00
最简单的情形：
$n=2$: 用直径等分，总长度=2；
$n=3$: 用夹角互为$120$度的半径等分，总长度=3；
(, 下载次数: 21)
作者: gxqcn    时间: 2010-11-19 15:11
$n=5$ 时，中间四段圆弧（弧度为30°，半径为0.8006），四个接点处向圆周辐射（各长0.7070），总边界长度=4.505

圆弧与线段间、及圆弧与圆弧间均呈120°夹角。


2010-11-22 9:00 修正：
推导中有一处失误，在53# hujunhua 已修正，圆弧半径=[TeX]sqrt((3*pi)/(5*(pi-3*(sqrt3-1))))=1.4119961813351850581103676413843[/TeX]。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-19 16:20
[TeX]n=4[/TeX] 时，试图按我们先前总结的规律依葫芦画瓢：
中间三段圆弧（弧度为60°，半径为=$sqrt(pi/(2*(pi-sqrt3)))$），三个接点处向圆周辐射（各长0.3905），总边界长度=$sqrt(pi*(pi-sqrt3)//2)+3=4.487$

此方案虽然比中间用一个半径=0.5的圆（其面积正好为大圆的1/4）略好，因为用圆则总长度=$pi+3//2=4.642$，
但居然不如直接用两条相互垂直的直径来得短（=4）！

也许还得再考察“>-<”型的田埂边界，似乎可以更优，但精确计算有点麻烦。。。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-19 16:48
...应该有相同的性质：
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段（可以看成圆弧的退化情况）
ii)在内部，最多三个不同的分界线共点，这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直
mathe 发表于 2010-11-12 17:00


是否可以补加一条：
iV) 如果有满足上述条件的多种方案，则节点数目少的总长度更短。
作者: 056254628    时间: 2010-11-21 03:02
单位正方形，n=6，经计算：堤坝总长=2.94339327592945

(, 下载次数: 17)

坐标如下：
(0.150703435198211,0.5)
(0.416300833333333,0.765597398135122)
(0.618153518895309,0.64905784612089)
(1,0.751373302365558)
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-21 12:21
这种方案如何？

(, 下载次数: 18)
作者: 056254628    时间: 2010-11-21 12:36
(, 下载次数: 18)


通过圆心的线段长=0.315748539305578
另四条线段长=0.911672165673151
总长度=3.96243720199818
内部交点的三条线夹角都是120度。
但是线与边界的夹角却不是90度，违反了与边界垂直的潜规则。
作者: 056254628    时间: 2010-11-21 13:26
通过计算上述类型的图，以下值得到最小值：
通过圆心的线段L1长=0.219763274056817
另四条辐射线段长=0.932873745971089
总长度=3.95125825794117
L1与四条辐射线的夹角=2.18215528143715 ，换成角度约等于125°
作者: 056254628    时间: 2010-11-21 13:33
47楼图，凭直觉，总长应该大于两横一竖的方案，也就是说会大于3。
作者: 056254628    时间: 2010-11-21 20:23
43楼是否计算有错误？
按照43#的数据，中心图形的面积=0.20194975940609
而1/5面积，应=Pi/5=.628318530717959
作者: 056254628    时间: 2010-11-21 20:48
n=5时，我的计算结果是：
中间四段圆弧（弧度为30°，半径为1.41085739578963），四个接点处向圆周辐射（各长0.483203729134676），总边界长度=4.88997201811376
作者: hujunhua    时间: 2010-11-21 22:29
n=5时，我的计算结果是：
中间四段圆弧（弧度为30°，半径为1.4119961813351850581103676413843），
四个接点处向圆周辐射（各长0.48317352758470343730345702574027），
总边界长度=4.8899719971251196888414772326709
(, 下载次数: 20)
作者: hujunhua    时间: 2010-11-22 02:06
标题: 48#，还能改进约0.015
.........
但是线与边界的夹角却不是90度，违反了与边界垂直的潜规则。
056254628 发表于 2010-11-21 12:36

经过初步估算，使用圆弧，满足与边界垂直的规则，总长大约还能改进0.015.
作者: gxqcn    时间: 2010-11-22 08:24
51# 056254628

仔细检查了一下，我一处计算有误，53# hujunhua 的结果是正确的。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-22 09:09
...
$n=6$ 时，中间一梅花形，每瓣是以2.574半径为半径，12°为圆心角的圆弧，5个顶点向圆周辐射（各长0.5423），总边界长度=5.407
gxqcn 发表于 2010-11-19 10:45


有谁来计算一下，当 $n=6$ 时，下面这种方案是否会更优？
(, 下载次数: 34)
其中与外圆相交的是六段圆弧，它们垂直于外圆，且与内三叉形成120°夹角（上图为示意图，仅供参考）。
作者: 056254628    时间: 2010-11-22 21:25
按照56楼的图形要求：
我的计算是：
六段圆弧，每段的弧度=0.405862342753588(换成角度约为23.25°)，半径=1.98563064939495
两段圆弧截得的外周圆弧的弧度=1.28267041688602(换成角度约为73.5°)
中心三个小段，每段长=0.269626133216857
总长度=5.64423464289114
(, 下载次数: 20)
作者: KeyTo9_Fans    时间: 2010-11-22 22:47
47楼图，凭直觉，总长应该大于两横一竖的方案，也就是说会大于3。
056254628 发表于 2010-11-21 13:33


我是根据两横一竖的方案，将其调整成三叉状的。

怎么总长度反而大了？
作者: mathe    时间: 2010-11-23 15:54
我觉得应该可以直接讨论更加一般的结论
如果不限定是不同部分面积不同，比如将单位正方形划分成三个部分，其中面积分别是事先给定的$S_1,S_2,S_3$,其中$S_1+S_2+S_3=1$,而要求边界总长度最短，那么也应该有相同的性 ...
mathe 发表于 2010-11-12 17:00

这个问题的一般结论现在还缺乏理论方面的支持:
i)内部分界线每一段必然是圆弧或直线段（可以看成圆弧的退化情况）
ii)在内部，最多三个不同的分界线共点，这时必然两两夹角相等
iii)分界线和边界接触的地方必然同边界垂直  
其中，i)我们可以用纯初等的方法来反证，这个只要利用面积一定的封闭图形中圆的边长最短来得出固定面积的弓形（一侧固定线段，另外一侧任意曲线）中，圆弧的长度最短来反证。
而对于iii),由于边界是直线段，我们可以将图形按边界做出对称图形，然后将边界线抹去（也就是边界线两边的区域合并成一个区域），对于合并以后的图形，根据条件i)就可以得出原图形中的条件iii).
所以主要余下的是条件ii),而且我们已经知道所有分界线都是圆弧。
而对于三条分界线共点:
假设周边三个点A,B,C的坐标为$(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c)$，这三个坐标已知
待定点P为三条分界线的公共点，坐标为$(x_p,y_p)$
记${(L_a=sqrt((x_p-x_a)^2+(y_p-y_a)^2)),(L_b=sqrt((x_p-x_b)^2+(y_p-y_b)^2)),(L_c=sqrt((x_p-x_c)^2+(y_p-y_c)^2)):}$
也即是$L_a,L_b,L_c$是直线段AP,BP,CP的长度。
分别假设$2\theta_a,2\theta_b,2\theta_c$为三条弧AP,BP,CP的弧度，而且它们的半径分别为$R_a,R_b,R_c$
于是我们知道
$2R_a sin(\theta_a)=L_a$
所以
$R_a={L_a}/{2sin(\theta_a)}$
而直线AP和弧线AP所夹部分面积为$D(A)=1/2 R_a^2(2\theta_a-sin(2\theta_a))={L_a^2}/8{2\theta_a-sin(2\theta_a)}/{sin^2(\theta_a)}$
而弧线AP的长度为$2R_a\theta_a=L_a{\theta_a}/{sin(\theta_a)}$
我们可以记函数$f(x)=x/{sin(x)},g(x)={2x-sin(2x)}/{sin^2(x)}$
于是弧线三角形ABP的面积为三角形ABP的面积加上$D(A)$再减去$D(B)$,即
$S_{ABP}=1/2(x_ay_p-y_ax_p+x_by_a-x_ay_b+x_py_b-x_by_p)+{L_a^2}/8g(\theta_a)-{L_b^2}/8g(\theta_b)$
同样可以有
$S_{BCP}=1/2(x_by_p-y_bx_p+x_cy_b-x_by_c+x_py_c-x_cy_p)+{L_b^2}/8g(\theta_b)-{L_c^2}/8g(\theta_c)$
$S_{CAP}=1/2(x_cy_p-y_cx_p+x_ay_c-x_cy_a+x_py_a-x_ay_p)+{L_c^2}/8g(\theta_c)-{L_a^2}/8g(\theta_a)$
而弧线AP,BP,CP的长度之和为
$T=L_af(\theta_a)+L_bf(\theta_b)+L_cf(\theta_c)$
我们的目的是在给定约束条件$S_{ABP},S_{BCP},S_{CAP}$为常数的条件下，求T的最小值，其中$x_p,y_p,\theta_a,\theta_b,\theta_c$为变量，也就是P点可以移动，而且弧线PA,PB,PC的曲率可以改变:
记$H=T+u_AS_{BCP}+u_BS_{CAP}+u_CS_{ABP}$,其中$u_A,u_B,u_C$为待定系数
于是
${\delH}/{\del\theta_a}=L_af'(\theta_a)-u_B{L_a^2}/8g'(\theta_a)+u_C{L_a^2}/8g'(\theta_a)$
${\delH}/{\del\theta_b}=L_bf'(\theta_b)-u_C{L_b^2}/8g'(\theta_b)+u_A{L_b^2}/8g'(\theta_b)$
${\delH}/{\del\theta_c}=L_cf'(\theta_c)-u_A{L_c^2}/8g'(\theta_c)+u_B{L_c^2}/8g'(\theta_c)$
${\delH}/{\delx_p}={x_p-x_a}/{L_a}f(\theta_a)+{x_p-x_b}/{L_b}f(\theta_b)+{x_p-x_c}/{L_c}f(\theta_c)+1/2u_A(y_c-y_b+{x_p-x_b}/2g(\theta_b)-{x_p-x_c}/2g(\theta_c))$
$+1/2u_B(y_a-y_c+{x_p-x_c}/2g(\theta_c)-{x_p-x_a}/2g(\theta_a))+1/2u_C(y_b-y_a+{x_p-x_a}/2g(\theta_a)-{x_p-x_b}/2g(\theta_b))$
${\delH}/{\dely_p}={y_p-y_a}/{L_a}f(\theta_a)+{y_p-y_b}/{L_b}f(\theta_b)+{y_p-y_c}/{L_c}f(\theta_c)+1/2u_A(x_b-x_c+{y_p-y_b}/2g(\theta_b)-{y_p-y_c}/2g(\theta_c))$
$+1/2u_B(x_c-x_a+{y_p-y_c}/2g(\theta_c)-{y_p-y_a}/2g(\theta_a))+1/2u_C(x_a-x_b+{y_p-y_a}/2g(\theta_a)-{y_p-y_b}/2g(\theta_b))$
由于$L_a,L_b,L_c$都不是0，所以取极值时，由前面三个导数为0，我们可以得到
${(u_B-u_C={8f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}),(u_C-u_A={8f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}),(u_A-u_B={8f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}):}$
三式相加，我们得到约束条件i)
${f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}+{f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}+{f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}=0$
整理后面的偏导数，得到
${\delH}/{\delx_p}={x_p-x_a}/{L_a}f(\theta_a)+{x_p-x_b}/{L_b}f(\theta_b)+{x_p-x_c}/{L_c}f(\theta_c)+1/2y_c(u_A-u_B)+1/2y_b(u_C-u_A)+1/2y_a(u_B-u_C)$
$+{x_p-x_b}/4g(\theta_b)*(u_A-u_C)+{x_p-x_c}/4g(\theta_c)*(u_B-u_A)+{x_p-x_a}/4g(\theta_a)(u_C-u_B)$
$={x_p-x_a}/{L_a}f(\theta_a)+{x_p-x_b}/{L_b}f(\theta_b)+{x_p-x_c}/{L_c}f(\theta_c)+4y_c{f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}+4y_b{f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}+4y_a{f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}$
$-(x_p-x_b){2g(\theta_b)*f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}-(x_p-x_c){2g(\theta_c)*f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}-(x_p-x_a){2g(\theta_a)*f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}$
$={x_p-x_a}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})+{x_p-x_b}/{L_b}(f(\theta_b)-{2g(\theta_b)f'(\theta_b)}/{g'(\theta_b)})+{x_p-x_c}/{L_c}(f(\theta_c)-{2g(\theta_c)f'(\theta_c)}/{g'(\theta_c)})$
$+4{y_a}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)}+4{y_b}/{L_b}{f'(\theta_b)}/{g'(\theta_b)}+4{y_c}/{L_c}{f'(\theta_c)}/{g'(\theta_c)}$
再次由于约束条件i)，我们可以将上式减去约束条件的$-4y_p$倍，得到约束条件ii)
${\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})+4{y_a-y_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0$
同样可以得到约束条件iii)
${\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_b}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})-4{x_a-x_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0$
上面的求和都是分别将下标a轮换改成b和c求和
也就是说，我们需要查看能否根据这三个约束条件得出三个角都相等的条件.
而如果进行数值计算，那么就可以直接利用这些方程，使用牛顿迭代法进行计算。
其中角度($\theta_a,\theta_b,\theta_c$都是有向的）
特别的，如果选择这些角度都是0（也就是限制所有线段都是直线段，那么由于${f'(x)}/{g'(x)}|_{x=0}=0$,相当于要求$\sum{x_p-x_a}/{L_a}=0,\sum{y_p-y_a}/{L_a}=0$,也就是三个方向单位向量之和为0向量，就是直线段两两夹角都是120度）
作者: mathe    时间: 2010-11-23 17:31
上面的分析仅仅对于边界是矩形的情况适用。而对于边界是圆的情况，连接到边界的分割线不一定会同圆周垂直。
我们不妨设这个圆是单位圆，分割线圆内端点坐标为$(x_0,y_0)$,另外一个点是动点$(cos(u),sin(u))$
而分割线弧度为$2\theta$,对应半径为$R$,于是记
$L=sqrt((x_0-cos(u))^2+(y_0-sin(u))^2)$
$2Rsin(\theta)=L$
弧线长度为$2R\theta=L\theta/{sin(\theta)}$
最后简化得出极值情况的要求是:
$(sin(2\theta)-\theta cos(2\theta)-\theta)/(\theta sin(2\theta)+cos(2\theta)-1)=cos(u)y_0-sin(u)x_0$
作者: mathe    时间: 2010-11-24 08:41
59#中得出的结论还是非常复杂，从中很难看出很直接的几何性质。不过如果我们考虑到在弧AP,BP,CP上各任意取一点A',B',C'来代替A,B,C,那么我们同样还可以得出类似的3条约束方程。
现在我们考虑将A',B',C'三个点同时趋向P,那么显然在这种情况下，$\theta_{a'},\theta_{b'},\theta_{c'}$都将趋向0，而${2\theta_{a'}}/{L_{a'}}$等分别趋向各自圆弧的曲率（或者说半径的倒数）。而向量$({x_p-x_{a'}}/{L_{a'}},{y_p-y_{a'}}/{L_{a'}})$趋向圆弧在P点的单位切向量。
于是极限情况的行为中，后面两个约束条件转化为三条圆弧在P点的单位切向量之和为0，也就是两两夹角相等。而第一个约束条件转化为三条圆弧的有向曲率之和为0（这个条件我们还一直没有发现）。特别的如果其中一条是直线段，那么另外两个圆弧必须半径相等但是方向相反。
由此我们可以知道我在36#中提供的方案还不行，因为不满足这个内部点相连接的三条圆弧有向曲率之和为0的条件
作者: mathe    时间: 2010-11-24 09:26
上面的分析仅仅对于边界是矩形的情况适用。而对于边界是圆的情况，连接到边界的分割线不一定会同圆周垂直。
我们不妨设这个圆是单位圆，分割线圆内端点坐标为$(x_0,y_0)$,另外一个点是动点$(cos(u),sin(u))$
而分割 ...
mathe 发表于 2010-11-23 17:31

60#的面积弄错了，修改了一下，假设$r_0,theta_0$是$(x_0,y_0)$的半径和角度，那么，最后公式应该是
${sin(2theta)-theta cos(2theta)-theta}/{theta\sin(2theta)+cos(2theta)-1}={r_0cos(u-theta_0)-1}/{r_0*sin(u-theta_0)}$
上面的公式左边同样手工可以简化，然后变成
$tan(theta)={r_0sin(u-theta_0)}/{1-r_0cos(u-theta_0)}$
这个的确是垂直圆的边界的条件
作者: gxqcn    时间: 2010-11-24 10:04
如果对一个正五角星五等分，最短的方案是怎样的？
先前总结的规律还适用否？

我怎么感觉将五个内顶点均与中心连结，把五角星五等分已“足够短”了，
但它破坏了太多的“规矩”！不知该怎么解释。
作者: mathe    时间: 2010-11-25 12:34
如果对一个正五角星五等分，最短的方案是怎样的？
先前总结的规律还适用否？

我怎么感觉将五个内顶点均与中心连结，把五角星五等分已“足够短”了，
但它破坏了太多的“规矩”！不知该怎么解释。
gxqcn 发表于 2010-11-24 10:04

这个构造最佳划分方案有些困难，但是要构造一个比上面方法好的不难。
实际上对于任意4条以上分界线共点的都可以通过类似方法来处理。
对于4条以上分界线共点的，其中必然有两条分界线夹角不超过90度（所以小于120度）。
于是，我们可以在这两条夹角内部添加一个点，以及分别通向这两条分界线另外端点和公共端点的三条圆弧，使得它们两两夹角为120度，并且曲率之和为0，来替换原先两条分界线并且要保持重新分界的面积相等。如果我们只查看这两条分解线公共的区域以及它们两边的区域共三个区域，我们可以知道这时还是相当于是三条分界线共点的问题，而我们构造出来的是这个问题的最优解；而原先给出的是这个点正好移动到边界上一个点的情况（非最优情况），自然改变以后的方案比原先的方案更加好
(, 下载次数: 24)
作者: mathe    时间: 2010-11-25 13:37
在59#中利用计算机(maxima)辅助得到了公式：
${({f'(\theta_a)}/{L_ag'(\theta_a)}+{f'(\theta_b)}/{L_bg'(\theta_b)}+{f'(\theta_c)}/{L_cg'(\theta_c)}=0),({\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})+4{y_a-y_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0),({\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_b}/{L_a}(f(\theta_a)-{2g(\theta_a)f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})-4{x_a-x_p}/{L_a}{f'(\theta_a)}/{g'(\theta_a)})=0):}$
没想到手工化简了一下，发现${f'(x)}/{g'(x)}={sin(x)}/4$(看来maxima实在弱了一些)
于是$f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}={sin(2x)}/{2sin(x)}$
公式可以简化为:
${({sin(\theta_a)}/{L_a}+{sin(\theta_b)}/{L_b}+{sin(\theta_c)}/{L_c}=0),({\delH}/{\delx_p}=sum ({x_p-x_a}/{L_a}cos(\theta_a)-{y_p-y_a}/{L_a}sin(\theta_a))=0),({\delH}/{\dely_p}=sum ({y_p-y_a}/{L_a}cos(\theta_a)+{x_p-x_a}/{L_a}sin(\theta_a))=0):}$
现在几何意义也很明显，其中第一个条件就是三条圆弧的曲率之和为0.
而后面两条约束条件就是将单位化的向量$PA,PB,PC$各自旋转角度$\theta_a,\theta_b,\theta_c$得到的三个向量(正好是三个切线向量)之和为0向量。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-26 07:54
64# mathe


mathe 的改进让我对坚守规则有了一线希望。
既然可以成功的将中间共点的分界线由5降为4，就可以再降为3，
方法如下：将左下角改进部分绕中心旋转144°覆盖原图形即可。
但此时中间的三叉线夹角为：108°--144°--108°，与我们的120°还有偏差，
那么可以适当微调其角度，甚至微移该结点（无需保证非得在五角星正中心）来实现。
只是最终的结果计算不太容易。
作者: 056254628    时间: 2010-11-26 16:29
谁能系统讨论一下一般三角形(边长分别为a、b、c)的两等分面积的最短分界线问题。
我觉得还是有点复杂。
1.分界线是否一定是直的？
2.分界线的端点是否一定如此：
    一端在最长边上，另一端在次长的边上（或次长边和最短边的交点）？
-----------------------------------------------------------------------------------------
如果还是要求分界线必须与边界垂直，那么，分界线就只能是圆弧了。
但如果计算出来的结果：最短分界线是直线，那么上述讨论出来的规则就不成立了。
那么我们就要说明哪些情况下规则成立，哪些情况下规则不成立。
作者: gxqcn    时间: 2010-11-26 17:03
估计是一个以最小内角顶点为圆心的一段圆弧吧。
作者: 056254628    时间: 2010-11-26 17:07
如果是一个以最小内角顶点为圆心的一段圆弧，那么这段圆弧与边界垂直的规则就可能不成立了。
--------
哈哈，想错了，是垂直的。
作者: 056254628    时间: 2010-11-26 17:22
设三角形，a>=b>=c,边a和边b的夹角为C，
那么如果分界线为直线，那么最短距离=$sqrt(a*b*(1-cos(C)))$
如果是68楼所说的圆弧，那么长度=$sqrt(a*b*sin(C)*C/2)$
比较它们的大小就可以了。
作者: mathe    时间: 2010-11-26 17:27
设三角形，a>=b>=c,边a和边b的夹角为C，
那么如果分界线为直线，那么最短距离=$sqrt(a*b*(1-cos(C)))$
如果是68楼所说的圆弧，那么长度=$sqrt(a*b*sin(C)*C/2)$
比较它们的大小就可以了。
056254628 发表于 2010-11-26 17:22

这个不等式简单，就是要求证明
$1-cos(C)>sin(C)C/2$
或者
${1-cos(C)}/{sin(C)}=tan(C/2)>C/2$
作者: 056254628    时间: 2010-11-26 17:33
上述两个长度相比的平方=$tan(C/2)/(C/2)$>1
所有68楼的想法是对的，规则仍成立。
那么三角形的三等分面积的分界线又是什么图形呢？
作者: mathe    时间: 2010-11-26 17:47
三等分就复杂了，有两种不同的情况，比如一条边特别长时，应该是两端圆弧来划分。
但是更多情况，应该是中间一个点向三条边引圆弧（或线段），比如正三角形。
作者: 云梦    时间: 2011-6-2 06:51
好像没有通解，对每个N来说都只会有一个最佳解。好玩！
作者: 云梦    时间: 2011-6-2 06:55
感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析，呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是：1、是直线或圆弧（直线也可以看成圆弧啦）；2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分，可以下面的图也可能是一 ...
zgg___ 发表于 2010-11-11 16:36

该图虽然是分成了五份，可中间的面积大了。（看图说话）4-Pi>pi/4
作者: 云梦    时间: 2011-6-2 16:39
当N=7的时候是否是5和3（中间不过不是正方形罢了）的正方形变成的组合呢？
作者: 云梦    时间: 2011-6-3 10:39
(, 下载次数: 45)
gxqcn 发表于 2010-11-22 09:09


总长度=5.523858208004413109257002657087103329629565101247626205842202074
作者: 云梦    时间: 2011-6-3 11:18
(, 下载次数: 17)
这个总长度 怎么计算帮个忙，谢谢！
作者: mathe    时间: 2013-12-13 18:59
其实我们如果考虑三条田梗交点附近很小范围将其放大，每条分界线可以近似看成直线，如同我们感觉地球是平的一样。于是显然必须两两夹角120度，不然最小角为顶角取等腰三角形然后取其费马点即可反证
作者: mathe    时间: 2013-12-13 19:05
同样如果一条田梗通到边界，如果不垂直边界，必然一侧小于90度。同样小范围内都近似看成直线，我们可以在小范围内用垂直边界并且保持两边面积大小的小圆弧替换，容易证明长度变短。
作者: mathe    时间: 2013-12-13 19:13
我们缺失的是边界上不光滑点处的分析，小范围内可以看成两射线构成一个角。显然如果这个角小于平角，根据上一楼的分析，田梗如果到达此点，必然和边界一侧夹角小于直角，矛盾，所以这种不光滑点不能有田梗到达。而对于张角大于平角的不光滑点，同样，如果有一条田梗发出，必然同两测夹角都不小于直角。而如果发出两条田梗，那么除了各自同边界夹角不小于直角外，两者夹角也不小于120度。所以只有在不光滑边界点对内张角不小于300度时，才可能发出两条田梗。
作者: mathe    时间: 2019-3-29 15:15
非常有意思，试着将本题中数据用google搜索，
结果对于3个区域，搜索到法国人的讨论：
https://translate.google.com/tra ... tml&prev=search
作者： Imod &#187;2012年1月13日，20：26
大致的答案是：1,623278144 ......
但我们可以毫无问题地给出确切的价值。

对于4个区域的结果，可以搜索到意大利人的结果
https://translate.google.com/tra ... htm&prev=search
来自：“El Filibustero”<spalland@comune.re.it>
日期：2000年7月8日星期六11.24
>结合前面消息中的所有考虑因素，我发现了这个推理的1.975593（错误除外）：
> ...
>然后，给定x从中间距离（距离PH = 1/2-x）>被认为是x的任意值，我构造三角形PHU，其中> U的角度为15度
OK！ 假设弧的角度宽度为15度，则无需经过反复试验。 该地区的条件
（x和r参考我的帖子）
r ^ 2 arcsin（x / r） - x * sqrt（r ^ 2-x ^ 2）+ x ^ 2 = 1/4
给出非近似结果：
r = sqrt（3 /（pi-3sqrt（3）+3））
x = r（sqrt（6）-sqrt（2））/ 4 = sqrt（3 /（pi-3sqrt（3）+3））*（sqrt（6）-sqrt（2））/ 4
在公式中替换的长度给出了确切的值
sqrt（3）/ 3 sqrt（pi-3sqrt（3）+3）+ sqrt（2）= ~1.975592884
表达x和r作为alpha（弧的宽度）的函数而不是反之亦然（正如我所做的那样）是一个很好的想法，可以导致正式演示，而不经过反复试验。
实际上，通过对区域的约束，可以表示切割的长度，仅作为alpha的函数：
长度=
SQRT（2）*（（*阿尔法SQRT（2）-sin（阿尔法））/ SQRT（α-SIN（2alpha）/ 2 + SIN（阿尔法）^ 2）+1）
关于α的导数等于0给出了超越方程，但是至少可以通过α= pi / 12来验证。 这正式表明了这一点
sqrt（3）/ 3 sqrt（pi-3sqrt（3）+3）+ sqrt（2）= ~ 1.975592884
是我之前提到的削减类别中的最小削减

如果搜索5个区域的结果，给出了一堆不错的结果，其中H14中第二问就是这个问题:
http://plouffe.fr/simon/Phys%20e ... 0Math%20Puzzles.pdf
H14. Minimum Cutting Length.What is the minimum cut-length needed
to divide
(a) a unit-sided equilateral triangle into four parts of equal area?
(b) a unit square, into five parts of equal area?
(c) an equilateral triangle into five parts of equal area?
H14. (a) Length = 1:342181807 as shown.
(b) Length = 2:50211293 as shown.
(c) Unknown
H14. From Robert T. Wainwright (private communication)
作者: mathe    时间: 2019-3-29 16:26
gxqcn 发表于 2010-11-19 16:20
[TeX]n=4[/TeX] 时，试图按我们先前总结的规律依葫芦画瓢：
中间三段圆弧（弧度为60°，半径为=$sqrt(pi/( ...


中间三段圆弧的相交点构成一个正三角形，边长r即这三段圆弧半径。根据中间这块面积为$pi/4$可以得出三个扇形面积减去两个三角形面积为$pi/4$,即$3*1/2 *{\pi}/3*r^2-2*1/2*\sin({\pi}/3)*r^2={\pi}/4$
可以得出$r=\sqrt(\frac{\pi}{2(\pi-\sqrt(3))})=1.0556524299493429538809290102236743268$
于是分界线总长为4.4879862748672625217959449509555691231
竟然还大于四个半径等分的情况？？
(, 下载次数: 12)
作者: mathe    时间: 2019-3-29 17:00
上面方案结果不好，但是我们可以选择另外一个方案，也就是在圆心附近找到对称两点（距离圆心距离为a),各自向圆周做一段垂直的圆弧，要求这个圆弧垂直圆周，而且和两点连线夹角为60度，同样还要作出对称圆弧，它们和两点连线一起将圆分成面积相同四份。
计算得到这段圆弧弧度是$\theta=0.19852240346429489833853950252807820517$时面积等分。对应a=0.12201015667671759164398812269422407046
最后得出边界长度为3.9457029672671857138428995521117991889
(, 下载次数: 19)
更多圆形结果在176#,高精度数值结果在186#
正方形结果在177#
作者: mathe    时间: 2019-3-30 14:19
将圆划分成5份等面积的图，53#hujunhua给出了全对称情况的构图，取得不错的结果，
但是我们应该还需要比较类似下图的构图，这个图需要上面对称，然后出了线段CB以外其它都可以是圆弧。
只是这种情况的计算量很大
(, 下载次数: 19)
作者: mathe    时间: 2019-3-30 15:26
59#的公式定义了$f(x)=x/{sin(x)},g(x)={2x-sin(2x)}/{sin^2(x)}$
而后面得出的约束条件内部都使用了表达式${f'(x)}/{g'(x)}$和$f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}$
大家显然都被这两个复杂的表达式吓坏了，完全没有想到去简化它们，今天试着用在线mathematica计算了一下，结果大跌眼镜，这表达式也实在太简单了
计算结果表示${f'(x)}/{g'(x)}={sin(x)}/4，f(x)-{2g(x)f'(x)}/{g'(x)}=cos(x)$  (https://www.wolframalpha.com/inp ... x))%2Fsin(x)%5E2,x))和(https://www.wolframalpha.com/inp ... (2x))%2Fsin(x)%5E2))

于是59#最后得出的约束条件可以简化为
$\sum_a{\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
$\sum _a{(x_p-x_a)\cos(\theta_a)+(y_p-y_a)\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
$\sum _a{(y_p-y_a)\cos(\theta_a)-(x_p-x_a)\sin(\theta_a)}/{L_a}=0$
其中$L_a=\sqrt((x_p-x_a)^2+(y_p-y_a)^2)$
其中第一个表达式表示三曲率之和为0，第二第三表达式表示三条单位切线两两夹角为120°。
于是在一般情况，对于给定$(x_a,y_a),(x_b,y_b),(x_c,y_c)$,我们根据上面3条约束方程，加上两条要求三部分面积分布的约束方程，就可以求解出$x_p,y_p,\theta_a,\theta_b,\theta_c$

作者: mathe    时间: 2019-4-2 12:47
hujunhua 发表于 2010-11-21 22:29
n=5时，我的计算结果是：
中间四段圆弧（弧度为30°，半径为1.4119961813351850581103676413843），
四个 ...


单位圆分成5个区域的数据更新

边界长度4.83384664352739678365771592855759637171533663888553794254033859014301160159103050453700603869825
作者: hujunhua    时间: 2019-4-2 21:27
mathe 发表于 2019-4-2 12:47
单位圆分成5个区域的数据更新

边界长度4.849346

有道理。
没有中心区块。充分利用周界，由 8 段田埂减少到 7 段田埂。
作者: 王守恩    时间: 2019-4-14 15:29
本帖最后由 王守恩 于 2019-4-14 19:11 编辑
mathe 发表于 2019-3-29 17:00
上面方案结果不好，但是我们可以选择另外一个方案，也就是在圆心附近找到对称两点（距离圆心距离为a),各自 ...


mathe！4 等分圆我想搞个算式出来(为后面的大数铺垫)。
借 84# 图。过圆心 O 作垂直直径，与圆周(下方)的交点为 A，
过圆心 O 作水平直径，在水平直径上找一点 P，B 是圆周上的点，
三角形 OPB 的面积=扇形(45°-∠AOB)的面积
4 等分圆边界长度=(PB+PO/2)×4
我就是不知道这2个方程怎么解，求助各位！
作者: 王守恩    时间: 2019-4-16 10:11
本帖最后由 王守恩 于 2019-4-16 14:03 编辑
056254628 发表于 2010-11-21 12:36
通过圆心的线段长=0.315748539305578
另四条线段长=0.911672165673151
总长度=3.96243720199818


借 48# 的图及数据，说透切一点，在这基础上再来作圆弧调整(算法是相通的)。

\(\D\frac{1.00000}{\sin120°}=\frac{0.91167}{\sin52.1417°}=\frac{0.31575/2}{\sin7.8583°}\)

三角形面积\(\D=\frac{\sin52.1417°}{\sin120°}\cdot\frac{\sin7.8583°}{\sin120°}\cdot\sin120°\cdot\frac{1}{2}=0.0623233\)

               扇形面积\(\D=\frac{(52.1417°-45°)\cdot\pi}{360°}=0.0623233\)

\(120°时，4 等分圆边界长度=0.91167\times 4+0.31575=3.9624372\)
同理可得：
\(121°时，4 等分圆边界长度=0.91531\times 4+0.14862\times 2=3.95847\)
\(122°时，4 等分圆边界长度=0.91922\times 4+0.13924\times 2=3.95535\)
\(123°时，4 等分圆边界长度=0.92343\times 4+0.12970\times 2=3.95311\)
\(124°时，4 等分圆边界长度=0.92792\times 4+0.12002\times 2=3.95173\)
\(125°时，4 等分圆边界长度=0.93273\times 4+0.11016\times 2=3.95126\)

求助：下面这一步先卡住了(后面有想法也出不来)，大家可有好方法？

解方程：\(\D\frac{\sin(A)\cdot\sin(B)}{2\sin(A+B)}=\frac{(A-45°)\cdot\pi}{360°}\)  且满足最小值：\(\D\frac{4\sin(A)+2\sin(B)}{\sin(A+B)}\)

作者: mathe    时间: 2019-4-16 10:43
四等分在84#
作者: mathe    时间: 2019-5-31 08:17
法语链接:
http://www.diophante.fr/images/stories/d447jn.pdf
http://www.diophante.fr/images/stories/d447cb.pdf
作者: mathe    时间: 2019-6-1 08:32
Plateau's laws

(, 下载次数: 32)
作者: zgg___    时间: 2019-6-4 15:55
分析了mathe的了不起的结果。发现了一个规律，就是所有的类似于DC那样的分隔线（的延长线）也都垂直于边界。
深入一下想想，可以用“物理”方法“证明”。当然这个“证明”是属于马后炮啦。哈哈。
如胡子等人提到的泡泡模型，简化到平面中，可想象为单位圆被一些钢丝分为一些区域，当达到平衡时，应满足：
1、这些钢丝上的每个点的应力F的大小都是相同（相同根钢丝和不同根之间都相同）；
2、每个区域有一个压强P，钢丝的曲率正比于其分割区域的压强差；
例如下图中对应的三块压强是相同的，所以对应部分的分割线也是相同的，可以认为右图是左图变化而来的。

作者: zgg___    时间: 2019-6-4 16:54
单位圆
nlwherewho
10--
22--
33--
43.94570296784# mathe
54.83384664487#mathe
65.64423464357#56254628
76-zgg__
86.64723101838021104#数学星空

正方形
nlwherewho
10--
21--
31.6232781441571813#KeyTo9_Fans
41.9755928847813# KeyTo9_Fans
52.502112930411#KeyTo9_Fans
62.93994625160691114#mathe

作者: mathe    时间: 2019-6-4 18:10
查看已知最优答案中内部点和边界点的数目分别为
0,2
1,3
2,4
3,5
4,6
可以推测7个区域使用5个内部点，7个边界点
这个比较难构造，倒是8个区域使用6个内部点，8个边界点的容易
作者: mathe    时间: 2019-6-4 19:14
7个区域很有可能会发生质变，内部6点边界6点
作者: 数学星空    时间: 2019-6-4 21:12
关于93#提到的结论:下面有更有趣的介绍

https://youliao.163yun.com/api-s ... A&from=timeline

另外最短构型:边界\(n\)个点，内部最多\(n-2\)的结论应该是正确的(可以看成斯坦纳猜想的推广)

最短构型的总长度\(L(n)\)与n的比值应该趋向于一个常数,我们可以称为mathe 常数?

斯坦纳比猜想:对欧氏平面上的任何有限点集，其最小的Steiner树同最小发生树的长度之比(称为Steiner比，即斯坦纳比)不小于√3/2

关于斯坦纳比猜想的介绍见:


https://www.xuebuyuan.com/3191323.html
作者: mathe    时间: 2019-6-6 20:06
6个区域改为对称的圆弧五边形居中占面积pi/6,好像可以改进到5.40679693,其中此"五边形"顶点到中心距离为0.45779,五条曲边长度都是0.53915,它们是半径为2.57425,圆心角为12°的圆弧
(, 下载次数: 18)
作者: mathe    时间: 2019-6-7 19:36
正方形5份还得考虑下图模式，而这个版本的直线段近似版本(三条垂直线段和四条倾向角正负30°的线段)好像结果就只有2.41，优于前面Fans的中心对称版本，所以这个结果应该更优




欢迎光临 数学研发论坛 (https://bbs.emath.ac.cn/) Powered by Discuz! X3.5