小学生的难题

northwolves · 发表于 2009-1-9 10:41:29

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正n边形的对角线及边可构成多少个三角形(a(n))?

a(3)=1
a(4)=8
....
a(n)=?

发现情况远比想象中的麻烦,猜测a(n)=$(n-2)^3$

gxqcn · 发表于 2009-1-9 10:54:06

a(4)=8

这么说对角线之间的交点也可作为三角形的顶点了？

northwolves · 发表于 2009-1-9 10:56:19

原帖由 gxqcn 于 2009-1-9 10:54 发表
a(4)=8

这么说对角线之间的交点也可作为三角形的顶点了？

是的.

无心人 · 发表于 2009-1-9 11:02:20

n = 5是30个
单独10个
两个三角形组成的10个
3个组成10个
顶点组成5个

northwolves · 发表于 2009-1-9 11:05:58

原帖由 无心人 于 2009-1-9 11:02 发表
n = 5是29个

似乎不止,我数一数

mathe · 发表于 2009-1-9 11:06:18

猜想肯定错误.n=5的时候就不对.
n=5时我们可以将三角形进行分类:
i)三个正五边形相邻顶点构成的三角形5个.
ii)三个正五边形不相邻顶点构成的三角形5个.
iii)两个正五边形相邻顶点和一个内点构成三角形(每两个相邻顶点可以确定3个三角形),共15个三角形
iv)两个正五边形不相邻顶点和一个内点构成三角形,共5个三角形
v)一个正五边形顶点和两个内点,同样5个三角形
所以n=5时总共35个三角形

无心人 · 发表于 2009-1-9 11:08:37

n = 6的更复杂

无心人 · 发表于 2009-1-9 11:09:40

呵呵
5的确实少算了5个

无心人 · 发表于 2009-1-9 11:13:51

mathe列举的情况
i) + ii) = C(n,3)

mathe · 发表于 2009-1-9 11:15:24

有一篇讨论正多边形所有对角形形成交点和里面点的数目的文章,得到的公式非常复杂.
所以这里的东东如果也得出公式肯定要更加复杂

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