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[求助] 一道平面几何题

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发表于 2009-1-19 08:52:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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已知:△ABC和△EAD是两个等腰直角三角形,∠ACB和∠EDA直角。点F是线段BE的中点。
求证:CF⊥DF,且CF=DF。

这是一道初中几何题,我想了好久没找到突破口,所以请大家帮忙。

图形不大会在电脑上画,所以就不帖出来了,
只需注意△ABC和△EAD的顶点排序同是逆(顺)时针方向的即可。
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2009-1-19 09:54:03 | 显示全部楼层
如果不成立,可以举个反例。

当点D在线段AB上时肯定是成立的,
推广到任意情形,我感觉也是成立的,但不知如何证明。

这是我家里那位问我的,
想了好长时间没解决,
所以请大家帮忙。

如果搁在20年前,我也许早就给解决了。
唉!好汉不提当年勇。
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发表于 2009-1-19 10:07:00 | 显示全部楼层
是这个是这个图吗?
未命名.JPG
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 楼主| 发表于 2009-1-19 10:10:21 | 显示全部楼层
对。
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发表于 2009-1-19 10:15:29 | 显示全部楼层
只要求证阴影的三角形全等就可以了。
111.GIF

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发表于 2009-1-19 16:04:41 | 显示全部楼层
原帖由 zgg___ 于 2009-1-19 10:15 发表
只要求证阴影的三角形全等就可以了。
705

阴影的三角形全等?是不是用多组两三角形相似来证明啊?还是不太明白。。。
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 楼主| 发表于 2009-1-19 21:45:33 | 显示全部楼层
简证:如图 6#,

分别取 AB、AE 的中点 G、H,连结 CG、FG、DH、FH
∵CG=AB/2=FH,FG=AC/2=DH
又∠CGF=∠FHD(∵∠BFG=∠BAE=∠FHE 且 ∠BGC=∠DHE=Rt∠)
∴△CGF≌△FHD => CF=DF

由∠CFD=∠CFH + ∠HFD=∠CFH + ∠GCF=Rt∠(∵CG⊥FH)
得CF⊥DF

故 CF=DF 且 CF⊥DF 成立。
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发表于 2011-1-26 00:11:10 | 显示全部楼层
偶查一个旧帖,撞入此处,想起曾见过的一个有趣命题:

以平行四边形的四边为斜边向形外作四个等腰直角三角形,四个直角顶点恰是一个正方形的顶点。
平行四边形致正方形.png
这个太直观,基本上不证自明。

郭老板的问题,作图形关于那个中点F的反演像,就成为上述命题。
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发表于 2011-1-26 00:19:44 | 显示全部楼层
8# hujunhua

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发表于 2011-10-29 15:01:52 | 显示全部楼层
好,真是精彩的证明
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