ln1+2ln2+3ln3+...+nln(n) 有限项的和

mathe

https://en.wikipedia.org/wiki/Stolz%E2%80%93Ces%C3%A0ro_theorem
设\((a_n)_{n\ge 1}\)和\((b_n)_{n\ge 1}\) 是两个实数序列。如果\((b_n)_{n\ge 1}\) 严格单调增而且发散，而且极限\(\lim_{n->\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=l\)
那么必然有\(\lim_{n->\infty}\frac{a_n}{b_n}=l\)
所以取\(a_n=n\ln(1)+n\ln(2)+...+n\ln(n), b_n=1\ln(1)+2\ln(2)+...+n\ln(n)\)
于是\((b_n)_{n\ge 1}\)严格单调增，
而\(\lim_{n->\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=\lim_{n->\infty}\frac{\ln(1)+\ln(2)+...+\ln(n)+(n+1)\ln(n+1)}{(n+1)\ln(n+1)}=1+\lim_{n->\infty}\frac{\ln(1)+\ln(2)+...+\ln(n)}{(n+1)\ln(n+1)}=1+\lim_{n->\infty}\frac{\ln(n!)}{(n+1)\ln(n+1)}\)
根据Stirling公式$\ln(\sqrt(2pi n))+n\ln(n)-n\lt \ln(n!) \lt\ln(\sqrt(2pi n))+n\ln(n)-n+1/{12n}$
所以\(\lim_{n->\infty}\frac{\ln(n!)}{(n+1)\ln(n+1)}=1\)
也就是\(\lim_{n->\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n->\infty}\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}=2\)

mathe

\(\lim_{x\to0}\left(\frac{a_{1}^x+a_{2}^x+a_{3}^x+\cdots+a_{n}^x}{n}\right)^{\frac{1}{x}}=\sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n}\)
所以9#的答案很显然。8#的也没有问题，其实只要分子分母都和$\ln^{n+1}(n)$比较即可