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[猜想] 一阶差分为等比数列的任意长素数组

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发表于 2019-3-13 15:14:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

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等比数列至少是 3 项啦,所以我们要找的素数组至少是 4 项。例如:
1、四元组(5,7,11,19),
      一阶差分(2,4,8)为等比数列,公比2;
2、五元组(17,19,23,31,47),
      一阶差分(2,4,8,16)为等比数列,公比2;
3、六元组(17,19,23,31,47,79),
      一阶差分(2,4,8,16,32)为等比数列,公比2;
4、七元组(1607,1609,1613,1621,1637,1669,1773),
      一阶差分(2,4,8,16,32,64)为等比数列,公比2;
5、八元组(1607,1609,1613,1621,1637,1669,1773,1901)
      一阶差分(2,4,8,16,32,64,128)为等比数列,公比2;
6、九元组(19427,  19429, 19433, ..., 19681, 19937),
      一阶差分(2,4,8,16,32,64,128,256)为等比数列,公比2。

在一亿内没有十元组,八元组也只有 3 个。

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参与人数 1金币 +1 收起 理由
.·.·. + 1 没记错M19937是梅森素数,不知有没有关系

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-13 15:18:38 | 显示全部楼层
一阶差分的公比只能是2,首项是2。现在发现的首项大于2的都是因为不完整,总可以向前扩展到2。

一阶差分亦可是阶序的,这样公比只能是1/2,末项是2。如四元组(5,13,17,19),一阶差分(8,4,2)

这样的素数组就以其一阶差分的升、降分别称为差升组和差降组。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2019-3-13 16:28:10 | 显示全部楼层
十元组 (2397347207, 2397347209, ..., 2397347717, 2397348229),一阶差分(2,4,8,16,32,64,128,256,512)
十元组 (2407977827, 2407977829, ..., 2407978337, 2407978849),一阶差分(2,4,8,16,32,64,128,256,512)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2019-3-13 22:07:45 | 显示全部楼层
这个题目不难,对于长度为k的序列,假设第一个数为b,那么相当于要求$b+2^h-2$,对于$1<=h<=k$都是素数
于是对于任意素数p,如果$p<=k+1$,那么必然可以得出唯一的b使得$b+2^h-2$不是p的倍数,比如p=2,要求$b-=1(mod 2)$, 对于p=3,由于h=1,2分别要求$b,b+2$不是3的倍数,得出$b-=2(mod 3)$, 而对于p=5,h=1,2,3,4分别要求$b,b+2,b+6,b+14$都不是5的倍数,所以$b-=2(mod 5)$等等。
设M是不超过k+1的所有素数乘积,上面方法可以利用中国剩余定理计算出唯一的N使得$b-=N(mod M)$,
于是我们可以假设$b=uM+N$,其中u为待定系数。
接下去我们需要对u采用筛选法,再选择一批大于k+1但是不是太大的素数,设它们乘积构成$M_2$,分别查看$u=0,1,2,...,M_2-1$时,$b+2^h-2,1<=h<=k$是不是都和$M_2$互素,只要有一个不符合互素条件就去除。$M_2$的选择标准是我们至少可以将$M_2$个整数高效的保存在一个表格里面。
现在我们已经有一个关于u的大小为$M_2$的表格,告诉我们u除以$M_2$的余数为多少时,才可能有解,这个可能的集合设为X,其中X中每个元素都在0和$M_2-1$之间。
接下去,我们就可以依次判断$b=(M_2*v+x)*M+N$是否符合条件,其中v是任意整数,x是X中的元素,这一步就可以按照定义来做了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-3-13 22:10:47 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2019-3-14 10:42:01 | 显示全部楼层
在相同范围内,相同长度的差升组和差降组的频数基本持平。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-14 16:43:13 | 显示全部楼层
差降组除(5,13,17,19)以数字9结尾外,其余的都是以数字3结尾,下一个是(29,37,41,43),在一亿零六百万左找到6592组。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-14 18:20:55 | 显示全部楼层
差降组的搜索
在106682203以内有1415个5元组,第一个为(13,29,37,41,43);
在106682203以内有304组6元组,第一个为(11,43,59,67,71,73);
在106682203以内有50个7元组,第一个为(337,401,433,449,457,461,463);
在106682203以内有11个8元组,第一个为(1889,2017,2081,2113,2129,2137,2141,2143);
在106682203以内有唯一9元组,第一个为(25793653,25793909,25794037,25794101,25794133,25794149,25794157,25794161,257941;
在一亿左没有找到十元组。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2019-3-16 09:39:35 | 显示全部楼层
差降组的搜索
找到的第一个10组元最大素数为  18585338803,一阶差分(512,256,128,64,32,16,8,4,2);
找到的第二个10组元最大素数为115049596693,
比起差升组,它们的出现范围都较大。
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发表于 2019-3-16 12:06:32 | 显示全部楼层
本帖最后由 葡萄糖 于 2019-3-16 12:20 编辑

好像没什么关系,先贴上吧!
如下长度为26的素数等差数列, 是由 Benoat Perichon 和 PrimeGrid 在 2010年四月份发现的:
\[ 43142746595714191+23681770223092870n,\quad  n = 0, 1,\ldots, 25 \]
截至2019年2月为止, 已知的最长的素数等差数列的长度是 435054, 是由 David Broadhurst, David Abrahmi, David Metcalfe, PrimeGrid 在2016年发现的:
\[ (2723880039837\cdot2^{1290000}−1)+(4125\cdot2^{1445205}− 2723880039837\cdot2^{1290000})n,\quad  n = 0, 1,\ldots, 435053 \]
2019年2月,Norman Luhn, Gerd Lamprecht发现了长度为300的素数等差数列
\[ 1+\big(3843864037 + 35500601n\big)\prod_\limits{k}^{125}\operatorname{prime}[\,k\,],\quad  n = 0, 1,\ldots, 299 \]
as of February 2019.png
https://en.wikipedia.org/wiki/Primes_in_arithmetic_progression

点评

那不是长度,应该是位数。26是长度  发表于 2019-3-16 14:07
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