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[讨论] E为四边形ABCD对角线的交点,求证以A、B为焦点过E的椭圆和以C、D为焦点过E的椭圆相切

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发表于 2020-1-4 10:45:46 | 显示全部楼层 |阅读模式

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有没有人知道这个是什么定理?
1.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-4 10:48:35 | 显示全部楼层
很显然,四边形内部任意选择一点E',那么|E'A|+|E'B|+|E'C|+|E'D|的极小值在E'=E时取到
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毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-1-4 11:23:14 | 显示全部楼层
如果是n边形呢,n边形内部的一点到n个顶点的距离之和最小,这个好像应该有结论吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-4 11:41:38 | 显示全部楼层
幸福_狐狸:切线和角平分线垂直,所以有共同的切线。

点评

画龙点睛,恍然大悟,原来证明如此简单。  发表于 2020-1-4 16:01
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2020-1-4 14:33:40 | 显示全部楼层
本帖最后由 lsr314 于 2020-1-4 14:37 编辑

补充:如图,O为四边形ABCD外接圆的圆心,E为对角线的交点,以四条边的端点为焦点且过点E的四个椭圆除了E以外分别交于K,L,M,N,P为四边形KLMN对角线的交点,求证P,E,O三点共线。


补充内容 (2020-1-8 23:06):
结论错误。
2.jpg
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2020-1-5 00:15:25 | 显示全部楼层
逆命题是否成立呢?

已知两椭圆外切,两椭圆外切点是否两椭圆焦点四边形的对角线交点?
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发表于 2020-1-5 00:31:16 | 显示全部楼层
楼主命题的构形还有内切形式。

如图,一个完全四点形ABCD有 6 条边,分为 3 组对边,有 3 个对边点P、Q、R。
楼主给出了过对边点 P 的构图(红色椭圆),是为外切。
而过另外两个对边点的构图则为内切(蓝色椭圆)。
透视相切.png
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 楼主| 发表于 2020-1-5 03:27:25 | 显示全部楼层
dingjifen 发表于 2020-1-5 00:15
逆命题是否成立呢?

已知两椭圆外切,两椭圆外切点是否两椭圆焦点四边形的对角线交点?


逆命题并不成立。
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发表于 2020-1-5 08:38:41 来自手机 | 显示全部楼层
如果 4 点形是凹的,那么两椭圆在对边点P就不是相切,而是垂直相交了。
凹.png
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发表于 2020-1-5 13:26:48 | 显示全部楼层
所以,正确的楼主原命题严格地表述应是:

————E为凸四边形ABCD对角线的交点,则以A、B为焦点过E的椭圆和以C、D为焦点过E的椭圆外切。
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