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[求助] 证明不等式

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发表于 2020-5-12 23:06:17 | 显示全部楼层 |阅读模式

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在看《不等式高级水平必备》这本书时遇到一个不等式, 书上没有证明过程,老师也没做出来,故在此求助, 多谢.
不等式.png
新人发贴, 如有不足多多指教.
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-16 09:06:35 | 显示全部楼层
这么多变量,第一反应就是可以拆开成两个独立的不等式,$x,y,z$一伙,$a,b,c$是一伙的,于是联想到 切比雪夫总和不等式https://mathworld.wolfram.com/ChebyshevSumInequality.html
证明:

有失一般性, 设$x>=y>=z, a<=b<=c $ ,于是得到 $x/{y+z} >= y/{z+x} >=z/{x+y}, b+c>=a+c>=a+b$, 套进前面提及的切比雪夫总和不等式,得到
\[\frac{x}{y+z}(b+c)+\frac{y}{z+x}(a+c)+\frac{z}{x+y}(a+b) \ge \frac{2}{3}(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})(a+b+c)  \]
然后 分别放缩, $x/{y+z}+y/{z+x}+z/{x+y}>=3/2$,   $(a+b+c)^2>=3(ab+bc+ac)$ ,原题得证。
---
前面只是证明了$x>=y>=z, a<=b<=c $的情况,其实,根据排序不等式,顺序和 >= 乱序和 >= 逆序和 , 只需要证明逆序和的最小值,未完待续。。。






毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-5-17 08:35:39 | 显示全部楼层
中学数学老师 龚固给出了一个证明:

捕获.JPG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2020-5-18 23:14:44 | 显示全部楼层
喔,我明白了.多谢!
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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