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[转载] 四边三连等比,求DE+DF的取值范围

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发表于 2020-9-4 10:45:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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转自https://bbs.cnool.net/10643957.html,这里没有回复,不用去看了。
仿佛本坛讨论过这个小题,但没有搜到,难道我记错了?
四边三比求范围.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2020-9-4 15:35:11 | 显示全部楼层
DE+DF的最大值好像是$sqrt(5 + 2sqrt(2))/2$,此时$CD=\frac{1}{4} \left(2+9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}\right)$

点评

确实搞反了 ╯□╰  发表于 2020-9-5 16:58
DE+DF跟CD的值搞反了吧,^_^  发表于 2020-9-5 15:56
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发表于 2020-9-4 15:35:22 | 显示全部楼层
目测∠ABC=135°时最大

点评

∠DFC貌似大于75°  发表于 2020-9-4 16:09
目测这么准!复眼人么^_^^_^  发表于 2020-9-4 16:05
而且∠EDF=45°,∠DFC=75°  发表于 2020-9-4 15:53
我开始没有算角度,刚算了下和我的结果是吻合的  发表于 2020-9-4 15:50
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发表于 2020-9-4 16:30:57 | 显示全部楼层
本帖最后由 mathematica 于 2020-9-4 16:35 编辑
chyanog 发表于 2020-9-4 15:35
DE+DF的最大值好像是$sqrt(5 + 2sqrt(2))/2$,此时$CD=\frac{1}{4} \left(2+9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt ...

  1. Clear["Global`*"];
  2. out=Maximize[{DE+DF,
  3.     DE^2==(xd-xe)^2+(yd-ye)^2&&
  4.     DF^2==(xd-(3-Sqrt[3]))^2+(yd-0)^2&&
  5.     (*两个向量垂直且根号3倍的关系*)
  6.     (xa-xd)==-Sqrt[3]*(yd-0)&&
  7.     (ya-yd)==Sqrt[3]*(xd-2)&&
  8.     {xa,ya}=={(Sqrt[3]+1)*xe,(Sqrt[3]+1)*ye}&&
  9.     xa^2+ya^2==1&&
  10.     DE>0&&DF>0
  11.     },
  12.     {DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}];
  13. ans={out[[1]],DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}/.out[[2]];
  14. aaa=N[ans,2000];
  15. Print["显示最大值"]
  16. bbb=RootApproximant[aaa]//ToRadicals//FullSimplify
  17. N[bbb]

  18. Clear["Global`*"];
  19. out=Minimize[{DE+DF,
  20.     DE^2==(xd-xe)^2+(yd-ye)^2&&
  21.     DF^2==(xd-(3-Sqrt[3]))^2+(yd-0)^2&&
  22.     (*两个向量垂直且根号3倍的关系*)
  23.     (xa-xd)==-Sqrt[3]*(yd-0)&&
  24.     (ya-yd)==Sqrt[3]*(xd-2)&&
  25.     {xa,ya}=={(Sqrt[3]+1)*xe,(Sqrt[3]+1)*ye}&&
  26.     xa^2+ya^2==1&&
  27.     DE>0&&DF>0
  28.     },
  29.     {DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}];
  30. ans={out[[1]],DE,DF,xa,ya,xe,ye,xd,yd}/.out[[2]];
  31. aaa=N[ans,2000];
  32. Print["显示最小值"]
  33. bbb=RootApproximant[aaa]//ToRadicals//FullSimplify
  34. N[bbb]
复制代码


最大值
\[\left\{\frac{1}{4} \left(9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}+2\right),\frac{1}{4} \sqrt{3} \left(-\sqrt{2}+\sqrt{6}+4\right),\sqrt{6-3 \sqrt{3}}+\frac{1}{2},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{4} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right),\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\frac{1}{4} \left(\sqrt{2-\sqrt{3}}+6\right),\frac{1}{4} \left(2 \sqrt{3}+\sqrt{\sqrt{3}+2}\right)\right\}\]
数值化
{3.57691, 2.18034, 1.39658, -0.707107, 0.707107, -0.258819, 0.258819, 1.62941, 1.34899}

最小值
\[\left\{\frac{1}{2} \left(2 \sqrt{3}+\sqrt{6-3 \sqrt{3}}-1\right),\frac{1}{4} \sqrt{3} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}+4\right),\sqrt{6-3 \sqrt{3}}-\frac{1}{2},\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2},\frac{1}{4} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}\right),\frac{1}{8} \left(\sqrt{2}-\sqrt{6}+12\right),\frac{1}{4} \left(2 \sqrt{3}-\sqrt{\sqrt{3}+2}\right)\right\}\]

数值化
{1.68034, 1.28376, 0.396575, 0.707107, -0.707107, 0.258819, -0.258819, 1.37059, 0.383062}

点评

最小值 漏掉了。  发表于 2020-9-5 16:01
可能会漏解,但是我不研究了  发表于 2020-9-4 16:42
最大值和我的不是一样的吗,你化简一下试试  发表于 2020-9-4 16:34
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发表于 2020-9-4 16:37:52 | 显示全部楼层
啊,∠DFC=75°对的。不过我发现不管AB:BC比值如何,DE+DF都在∠ABC=135°时最大。
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发表于 2020-9-5 15:23:42 | 显示全部楼层
设$D$点坐标是${0,0}$,$A$点坐标是${\sqrt{3}t,0}$,$B$点坐标是${x,y}$,$C$点坐标是${0,t}$,那么$E,F$坐标也很好算,然后设$s=DE+DF$,消元得到方程
\[s^6 \left(-64 \sqrt{3} t^2+320 \sqrt{3}-688\right)+s^4 \left(384 t^4+720 \sqrt{3} t^2-1200 t^2-6696 \sqrt{3}+12060\right)+s^2 \left(-2688 \sqrt{3} t^6+4608 t^6+5280 \sqrt{3} t^4-9408 t^4+22680 \sqrt{3} t^2-39432 t^2-5856 \sqrt{3}+9740\right)+16 s^8=32256 \sqrt{3} t^8-55872 t^8-104928 \sqrt{3} t^6+181728 t^6+108024 \sqrt{3} t^4-187152 t^4-36964 \sqrt{3} t^2+63948 t^2+3968 \sqrt{3}-6979\]
  1. {a,b,c,d}={{Sqrt[3]t,0},{x,y},{0,t},{0,0}};
  2. e=(a+Sqrt[3]b)/(1+Sqrt[3]);f=(b+Sqrt[3]c)/(1+Sqrt[3]);
  3. Eliminate[{s==(Sqrt[Total[(d-e)^2]]+Sqrt[Total[(d-f)^2]]),Total[(a-b)^2]==1,Total[(c-b)^2]==4},{x,y}]
复制代码


恩,得到了$s$和$t$的双偶次 多项式方程,即闭合曲线,进而求最值
  1. Maximize[{s,
  2.    16 s^4 + s^3 (-688 + 320 Sqrt[3] - 64 Sqrt[3] t^2) +
  3.       s^2 (12060 - 6696 Sqrt[3] - 1200 t^2 + 720 Sqrt[3] t^2 +
  4.          384 t^4) +
  5.       s (9740 - 5856 Sqrt[3] - 39432 t^2 + 22680 Sqrt[3] t^2 -
  6.          9408 t^4 + 5280 Sqrt[3] t^4 + 4608 t^6 -
  7.          2688 Sqrt[3] t^6) == -6979 + 3968 Sqrt[3] + 63948 t^2 -
  8.       36964 Sqrt[3] t^2 - 187152 t^4 + 108024 Sqrt[3] t^4 +
  9.       181728 t^6 - 104928 Sqrt[3] t^6 - 55872 t^8 +
  10.       32256 Sqrt[3] t^8 && s > 0 && t > 0}, t] // RootReduce
复制代码

$DE+DF$的最大值就是 $\frac{1}{4} \left(9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}+2\right) = 3.57691$, 此时$CD = \frac{1}{2} \sqrt{2 \sqrt{2}+5} =1.39897 $
最小值是 $\sqrt{\frac{1}{2} \left(41-23 \sqrt{3}\right)} = 0.762506$,此时$CD= \frac{3}{\sqrt{3 \sqrt{3}+\sqrt{30 \sqrt{3}-20}+5}}=0.75355$ 或者$CD = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} \left(3 \sqrt{3}+\sqrt{30 \sqrt{3}-20}+5\right)} = 1.40755..$

补充一个$s$关于$CD=t$的关系图如下:

a.png
画图代码:
  1. ContourPlot[16 s^8+s^6 (-688+320 Sqrt[3]-64 Sqrt[3] t^2)+s^4 (12060-6696 Sqrt[3]-1200 t^2+720 Sqrt[3] t^2+384 t^4)+s^2 (9740-5856 Sqrt[3]-39432 t^2+22680 Sqrt[3] t^2-9408 t^4+5280 Sqrt[3] t^4+4608 t^6-2688 Sqrt[3] t^6)==-6979+3968 Sqrt[3]+63948 t^2-36964 Sqrt[3] t^2-187152 t^4+108024 Sqrt[3] t^4+181728 t^6-104928 Sqrt[3] t^6-55872 t^8+32256 Sqrt[3] t^8,{t,0,2},{s,0,4},PlotPoints->100]
复制代码

点评

我最小值是对的,存在漏情况,但是最小值没漏掉  发表于 2020-9-6 08:59
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发表于 2020-9-5 16:09:01 | 显示全部楼层
所以说,从曲线图分成三段闭合曲线 看得出来,这题的最小值 是有鬼的。 而且原题是问取值范围,而不是求最值,所以应该要给出三段区间,分别是
\[\sqrt{\frac{1}{2} \left(41-23 \sqrt{3}\right)} \leq s  \leq \frac{1}{4} \left(-3 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+\sqrt{6}-2\right),  s \in [0.762506, 0.783763]\]
\[\frac{1}{4} \left(-3 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+\sqrt{6}-2\right)< s \leq \frac{1}{4} \left(-9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}+3 \sqrt{6}+2\right),  s\in(0.783763, 0.887188]\]
\[\frac{1}{2} \left(2 \sqrt{3}+\sqrt{6-3 \sqrt{3}}-1\right)\leq s \leq \frac{1}{4} \left(9 \sqrt{2}+4 \sqrt{3}-3 \sqrt{6}+2\right), s \in [1.68034, 3.57691]\]
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发表于 2020-9-5 18:42:41 来自手机 | 显示全部楼层

感觉wayne的结论不合理,结果应该是一段连续区间才对

如图,显然结果应该是单位圆上的点到两个给定点距离的加权和,这是一个连续函数,结果应该是前一段连续区间才合理
IMG_20200904_200948.jpg
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发表于 2020-9-5 19:36:22 | 显示全部楼层
确实,我这种消元 因为没有对点$B:{x,y}$在第一象限做限定,所以会产生增根的。

计算发现,$B$点可以跑到线段$AD$的上侧
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 楼主| 发表于 2020-9-5 20:23:38 | 显示全部楼层
线段DE的两端都是动点,不便于用几何方法进行讨论,故可以作一个平行四边形DEHF,将DE平移至FH。
固定坐标B(0,0), C(2,0), 视A为在单位圆`x^2+y^2=1`上的动点。
显然,D的轨迹是A所在单位圆以C为中心的位似缩放和旋转, 缩放比=CD/CA=1/2, 旋转角=∠ACD=-π/3. 记这个变换为 p.
I =p(B)为D的轨迹的圆心,△BIC∽△ADC, CI=BA=1。
在AC上取点G,使得分比(ACG)=(ABE)=(BCF)=AD/DC=√3,则有平行四边形BEGF,和DG是∠ADC的角平分线,且DG//=BH。
△ADC亦可看作△BIC绕中心C的一个缩放旋转,记这个变换为q.  angle(q)=∠BCA=∠ICD
显然 q(CIF)=(CDG), 所以∠CIF=∠CDG=45°,∠CFI=75°。
取点 J 构成平行四边形FIBJ, BJ//=IF, 又BH//=DG, q(CIF)=(CDG), →△BHJ∽△CDI→JH=BJ/2。
所以 H的轨迹是圆 J。
四边三比.PNG
因此FD的最长和最短位置都通过圆心 I,FH的最长和最短位置都通过圆心 J。
题设的巧合就在于,两者刚好同时达到最长和最短,所以之和也就同时达到最值。
下面加以说明:
由于∠CBA=∠CID=∠BJH,所以分别将BC, IC, JB视为动半径BA,ID,JH的起始位置,三者是同步扫角的。
易得扫过135°时,FID共线,FJH共线,DF与FH同时达到最长
扫过315°时(即-45°,亦即135°的反方向),FDI共线,FHJ共线,DF与FH同时达到最短。

点评

我前面表达有误,刚看了下。如果以A为圆心,半径为1的圆 与 以C为圆心,半径为2的圆相交,交点定为B,那么B可以在AD的上面  发表于 2020-9-6 09:31
@wayne 最小值正是如此.  发表于 2020-9-5 21:26
如果$D,E$分在$BC$的两侧呢  发表于 2020-9-5 21:20

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