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[转载] 长方体的骰子,掷出各个数字的几率

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发表于 2021-11-13 23:53:08 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 majer 于 2021-11-13 23:53 编辑

http://jandan.net/p/109828

链接里的问题是反着问的:要想让两个正方形面上的数字1或6,每个出现的几率仅是侧面2、3、4、5任何一个数出现几率的一半,应该把骰子的长边和短边比例设为多少?

下面评论里,那个投影到圆的观点应该是对的。但很难解释清楚。这个涉及到物理上的概率实现……不知道大家有啥看法。

另外,球面上,一个通过圆心的大圆和一个不通过圆心的小圆相割,它们两个在球面上截出的类似弯月牙的图形,面积是多少?因为投影的话,正方形面积不是投出一个球冠,而是像小丑帽子似的四角——球冠挖去四个上面的类月牙。

这个有简单的计算公式吗?就是用两个圆半径和它们所成的面角度,这些几何参量表示的公式。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2021-11-14 12:15:53 | 显示全部楼层
这个问题就是二维情况分析起来也挺复杂的。我们还需要考虑能量衰变问题。
比如二维平面上长方形两边为a,b($a\gt b$),
那么每次骰子随机落下时,重心落在短边所张范围的比例为\(\frac{\tan^{-1}(\frac ab)}{\frac{\pi}2}\). 但是假设初始落下能量充分大,正常情况,落下的骰子还会弹起,然后在落下,知道能量过低不能继续弹起,而后面能量低到一定情况,骰子还会变成滚动状态,这部分分析会非常复杂。
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发表于 2021-11-14 12:44:12 | 显示全部楼层
本帖最后由 northwolves 于 2021-11-14 12:47 编辑

假设骰子尺寸为$1*1*h$
易知
$P_{2345}= \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{h}{\sqrt{h^2 + 2}}) $
$P_{16}= \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{1}{h\sqrt{h^2 + 2}}) $
解方程 $\arctan(\frac{h}{\sqrt{h^2 + 2}})= 2\arctan(\frac{1}{h\sqrt{h^2 + 2}})$
得$h=root4{5}$

点评

你参考下2#中内容,还有能量问题。  发表于 2021-11-15 12:19
很轻的瑜伽砖。  发表于 2021-11-15 12:19
多重的砖?抛的高度可能不够  发表于 2021-11-15 12:03
这样计算1:2:3的骰子各面的落地比例是多少?我有个dagai1:2:3的瑜伽砖,试着抛了10次左右,每次都是2×3的面落地  发表于 2021-11-15 09:09
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发表于 2021-11-15 12:02:17 | 显示全部楼层
$P_{ab} = \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{ab}{c\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}})$
$P_{bc} = \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{bc}{a\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}})$
$P_{ca} = \frac{2}{\pi}\arctan(\frac{ca}{b\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}})$

参考:Cuboidal Dice and Gibbs Distributions
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发表于 2021-11-15 12:48:12 | 显示全部楼层
上面的Gibbs Distributions不错,但是概率分布明显和你给的结果不同。
文章中说,概率分布依赖于外部条件,如高度,弹性系数,边的形状等等,弹性系数越高,越偏向于最大的面落地。由于瑜伽砖弹性非常好,所以我试验结果总是躺平是合理的。
如果长方体三边分别为a,b,c,那么文章中结论是以三边为高的概率分别为$x^a:x^b:x^c$,其中x是一个待定系数。比如对于瑜伽砖,由于弹性很好,x会非常小。
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