另类极值

数学星空

已知$x_1,x_2,x_3,x_4$为正数,求下列函数的最大值
(1)  $x_1/{1+x_1^2}+x_2/{1+x_1^2+x_2^2}$

(2) $x_1/{1+x_1^2}+x_2/{1+x_1^2+x_2^2}+x_3/{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2}$

(3) $x_1/{1+x_1^2}+x_2/{1+x_1^2+x_2^2}+x_3/{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2}+x_4/ {1+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}$

rayfekeeper

对各个参数的偏导等于零，得出的值与在边界点的值作比较，就是要找的答案。

数学星空

呵,这个原理谁都知道,现在的问题的最终答案是什么 ??

rayfekeeper

用数学软件解吧，高手来结贴。

数学星空

这个极值之所以称为另类是,取极值时,各变量并不相等 ...
对于五元以上的问题,现在依靠软件也非常吃力...

wiley

(1) x都是正数.  对任意的x1,
$x_2/{1+x_1^2+x_2^2} \le 1/{2\sqrt{1+x_1^2}}$
然后作代换 x1=tan(t), 角度的取值范围是(0,pi/2).  所以需要
$1/2(\sin(2t)+\cos(t))$
的最大值.
求导得到的结果是${(3+\sqrt{33})(\sqrt{30+2\sqrt{33}})}/64 ~ 0.88$

(2) $x_3/{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2} \le 1/{2\sqrt{1+x_1^2+x_2^2}}$
类似地作代换 $x_2=\sqrt{1+x_1^2}\tan(t)$, 得到和(1)一样的关于t的函数.
所以需要
$x_1/{1+x_1^2}+{(3+\sqrt{33})(\sqrt{30+2\sqrt{33}})}/{64\sqrt{1+x_1^2}}$
的最大值.
再作一次代换x1=tan(t), 结果 ~ 1.196

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普遍的情况是反复求
$\sin(2t)/2+M\cos(t)$
的最大值. 所以可以对n作递归, M就是(n-1)个变量时的最大值.

若定义函数
$f(x)={(3x+\sqrt{x^2+8})\sqrt{8-2x^2+2x\sqrt{x^2+8}}}/16$
对于n个变量, 最大值是
$f^{(n)}(0)=f(f(...f(0)))$

数学星空

wayne

呵呵，用Mathematica编了一个程序
{{0.5,{x1->1.}},
{0.880086,{x1->0.736595,x2->1.242}},
{1.19591,{x1->0.609624,x2->0.862679,x3->1.4546}},
{1.47044,{x1->0.530646,x2->0.690138,x3->0.976614,x4->1.64671}},
{1.71578,{x1->0.47539,x2->0.587556,x3->0.764153,x4->1.08135,x5->1.82331}},
{1.93915,{x1->0.433964,x2->0.518225,x3->0.640496,x4->0.833005,x5->1.17879,x6->1.9876}},
{2.14528,{x1->0.401444,x2->0.467627,x3->0.558423,x4->0.69018,x5->0.897622,x6->1.27022,x7->2.14178}},
{2.33746,{x1->0.375057,x2->0.42875,x3->0.499435,x4->0.596408,x5->0.737126,x6->0.958678,x7->1.35663,x8->2.28746}},
{2.51805,{x1->0.353106,x2->0.397752,x3->0.454694,x4->0.529657,x5->0.632497,x6->0.78173,x7->1.01669,x8->1.43872,x9->2.42588}},
{2.68883,{x1->0.334486,x2->0.372336,x3->0.419413,x4->0.479456,x5->0.5585,x6->0.666941,x7->0.824302,x8->1.07206,x9->1.51707,x10->2.55799}}}

代码：

1. Table[n = kk; Maximize[Sum[a = Symbol /@Array["x" <> ToString[#] &, ii]; Last[a]/(1. + Total[a^2]), {ii, n}], Greater[#, 0] & /@ a /. List -> And, a], {kk, 1, 10}]

复制代码

数学星空

呵,不知道,mathematica 的编程功能如此简洁而强大...
不知,wayne 有没有关于mathematica 软件编程的资料,上传上来学习一下(或者给一个电子书的链接地址)

wayne

附件是变量个数为1----50时，对应的函数取得最大值的解，这在我的机子上运行花了93秒钟。

{0.5,0.880086,1.19591,1.47044,1.71578,1.93915,2.14528,2.33746,2.51805,2.68883,
2.85119,3.0062,3.15475,3.29756,3.43522,3.56823,3.69702,3.82195,3.94334,4.06148,
4.17659,4.2889,4.39859,4.50584,4.6108,4.7136,4.81437,4.91323,5.01027,5.10559,
5.19929,5.29142,5.38208,5.47133,5.55923,5.64583,5.7312,5.81539,5.89843,5.98038,
6.06128,6.14117,6.22007,6.29804,6.37509,6.45127,6.52659,6.60109,6.6748,6.74773}

当变量个数n一直增大，这个最值似乎在收敛。。。
不知道能否从理论上澄清一下