不等式的又一道经典难题

数学星空 · 发表于 2010-1-19 15:19:54

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已知a,b,c为非负实数，且a,b,c 至多只有一个为0，设k为正常数，
求 $P(a,b,c)=sqrt({a^2+k*b*c}/{b^2+c^2})+sqrt({b^2+k*a*c}/{a^2+c^2})+sqrt({c^2+k*b*a}/{b^2+a^2})$ 的最小值?

数学星空 · 发表于 2010-1-19 15:21:23

这道题的精彩解答也出自于那个越南"不等式大师",不知各位能否利用数学软件或者编程找到结果...

wayne · 发表于 2010-1-22 16:21:59

本帖最后由 wayne 于 2010-1-22 16:24 编辑

当k比较大时，最小值在其中一个为0，另两个相等时取得
当k比较小时，最小值在三个都相等时取得

数学星空 · 发表于 2010-1-22 16:25:49

呵呵,可没有这么简单,注意,这可是"不等式大师"的问题,没有一定难度也不会动用数学软件或者编程计算
当然,这位大师可是大脑加笔纸解决的....

wayne · 发表于 2010-1-22 16:30:44

我就是编了一个小程序检测的啊
大概在k=0.7左右发生突变

数学星空 · 发表于 2010-1-22 16:33:38

这说明你还没有抓住问题的本质即a,b,c属于变量,k是常量,
最小值与k有密切的关系..

wayne · 发表于 2010-1-22 16:35:25

数学星空 · 发表于 2010-1-22 16:36:52

你应该研究k=1,2,....,100时,分别对应的最小值,
然后再寻找规律...

wiley · 发表于 2010-1-22 18:32:22

本帖最后由 wiley 于 2010-1-22 19:41 编辑

看latex, 根号是在整个分式的外面吧? 为什么只显示在分子上?

我用mathematica画图看到的是有一个必须是0, 取最小值 (我无法证明).
(补充一下画图: 因为要证的表达式是齐次的, 如果假设c是最大, 因为至多只能一个为0, 所以c>0. 上下同除c^2后, 可化为两元的不等式, 且0<=a<=b<=1. 然后用CountourPlot)

假设是a=0, 原不等式化为:
$\sqrt{k} ({b^2+c^2}/{bc})^{-1/2}+{b^2+c^2}/{bc}$

注意到 ${b^2+c^2}/{bc}\ge 2$ , 等号在b=c时取到
当 k<32时, AM-GM的等号取不到, 所以最小值取在上面的端点处, 是 $\sqrt{k}/\sqrt{2}+2$ ;
当 k>=32时, 最小值在 $\sqrt{k}/2 ({b^2+c^2}/{bc})^{-1/2}={b^2+c^2}/{bc}$ 时取到, 最小值是 $3/2 (2k)^{1/3}$.

数学星空 · 发表于 2010-1-22 19:41:53

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