求方程的互质解

wayne · 发表于 2010-4-1 14:14:25

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如果,正整数a,b,N，满足，$a^2-ab+b^2=N^2$

试问，$1≤a<b<10^100$以内的互质的解有多少组？

wayne · 发表于 2010-4-1 15:21:35

2# mathe

只要找出非平凡解即可，互质应该不是难点吧

wayne · 发表于 2010-4-1 15:23:59

我是从N入手的，只是还没找到其递归式子，不知道有没有，
如果没有，也不知道计算机的计算能力能走多远，如果你觉得上限大了，我可以调小一点
关键是想看看能不能挖掘出很好的约束来

wayne · 发表于 2010-4-2 10:11:42

比如当N=7*13*19*31*37*43
其解有2^5=32组，如下：
{a,b}:

{5, 9237}, {157, 9312}, {368, 9413}, {873, 9640},
{880, 9643}, {960, 9677}, {1063, 9720}, {1383, 9848},
{1565, 9917}, {1592, 9927}, {1752, 9985}, {1933, 10048},
{2277, 10160}, {2435, 10208}, {2640, 10267}, {2687, 10280},
{2787, 10307}, {3127, 10392}, {3272, 10425}, {3355, 10443},
{3625, 10497}, {3707, 10512}, {3953, 10553}, {4103, 10575},
{4177, 10585}, {4272, 10597}, {4297, 10600}, {4755, 10643},
{4833, 10648}, {4925, 10653}, {4968, 10655}, {5295, 10663}

wayne · 发表于 2010-4-2 10:23:54

再比如：
N=7时，解为{2,3}
N=7^2，解为{3,8}
N=13^100，解为{9775102200283600508421924434475532688916648626365699376,53955571680724430555006954675322605232760286996653695375}

N=7*13时，解为{1, 10}, {5, 11}
........
总之，N的素因子个数为k,解就有 2^(k-1)组。。。

wayne · 发表于 2010-4-2 17:13:51

呵呵，先让我自己来吧，
我明天贴出我的推导来
然后还要你来纠正。。。

wayne · 发表于 2010-4-3 22:09:40

{a, b}={u²-v², 2uv-v²}
N=u²-uv+v²
u>v>0, Gcd(u,v)=1, u≠-v(mod3)

我根据你给的通解公式瞬间产生了前一万组解。同我以前的排序后的解进行对比，发现每一项都是严格的对应着的！！！

太不可思议了！！！

wayne · 发表于 2010-4-3 22:17:25

emath里的又一个神人啊，
快快贴出过程吧

wayne · 发表于 2010-4-3 22:40:39

9# mathe

我相信mathe给的通解如果补全了约束条件，通过某种参数转换，与hujunhua的一定等效

wayne · 发表于 2010-4-7 17:09:53

神奇~~
原来二者之间是这样等效的，
我原先推导了一会，
没发现等效性就放弃了

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