一个最大值问题

数学星空

已知$1/2<=a_i<=2, i=1,2,3...,n,$且有$a_1+2*a_2+3*a_3+....+n*a_n=n^2/2$,求
$a_1/a_2+a_2/a_3+a_3/a_4+....+a_{n-1}/a_n+a_n/a_1$ 的最大值?

northwolves

n=2时，最大值13/6,此时a1=1/2,a2=3/4

northwolves

猜测$a_n=frac{2n-1}{2n}$ 时取最大值，不知对不对

northwolves

如果成立，则$max(a_n) =$
     13/6      
       97/30      
     1793/420     
     6667/1260   
    87407/13860   
  1318451/180180

youyouyou

不知对否？没找到什么规律，n越大越难些：
n        最大
2        2.5
3        5.25
4        6.75
5        8.8833333333
6        10.725
7        12.657142857
8        14.7678571
9        16.47321428
10        18.60142857

数学星空

楼上的能否给出,对于不同的n,得到最大值时相对应的$a_1,a_2,a_3,a_4,...,a_n$的值
经计算:
n=2   时   $ {a_1=1,a_2=1/2$}                                                 最大值  $5/2$
n=3   时   ${a_1=2,a_2=1/2,a_3=1/2}$                               最大值  $21/4$
n=4   时   ${a_1=2,a_2=1/2,a_3=1,a_4=1/2} $               最大值  $27/4$
..........

youyouyou

供参考：
n        Max        a1,a2.....an
2        2.5        1,0.5
3        5.25        2,0.5,0.5
4        6.75        2,0.5,1,0.5
5        8.8833333333        2,0.5,1.666666,0.5,0.5
6        10.725        2,0.5,2,0.5,0.8,0.5
7        12.657142857        2,0.5,2,0.5,1.4,0.5,0.5
8        14.767857142        2,0.5,2,0.5,2,0.5,0.5714285,0.5
9        16.4732142857        2,0.5,2,0.5,2,0.5,1.1428571428,0.5,0.5
10        18.60142857        2,0.5,2,0.5,2,0.5,1.78571428,0.5,0.5,0.5
15        28.0357142855        2,0.5,2,0.5,2,0.5,2,0.5,2,0.5,0.5,1.75,0.5,0.5,0.5

mathe

我们可以去证明，取到最值时，必然最多只有1个数没有取到边界值（也就是0.5或2)。
假设取最值的时候，有两个变量还没有取到边界值,那么我们值需要分析包含这两个变量的项，
设这两个变量为x,y,如果它们不相邻，对应约束条件类似u*x+v*y=S,
而我们已经知道F(x,y)=a/x+x/b+c/y+y/d的最大值不在边界取到，其中(u,v,a,b,c,d都是正数）
我们可以将y用x替换，然后计算出F关于x的二阶导数，得到
$2a/x^3+2c{u^2}/{v^2}*y^3$
恒大于0，所以我们知道F看成x的函数是凸函数，最大值只能在边界取到，得到矛盾。

mathe

同样，如果x,y相邻，对应表达式为
F(x,y)=a/x+x/y+y/b,同样替换y为x后，可以计算出关于x二阶导数恒大于0。
由此得到最多只有一个变量不能取到0.5或2.
余下就是需要讨论到底哪些变量应该取0.5,哪些应该取2

mathe

现在可以分析出序列中一些不能出现的模式，必然
相邻4个数不能够为2 2 0.5 0.5
假设第二个2的位置是$a_k$,那么我们可以将这4个数替换为2 0.5 0.5+k/(k+1)*1.5 0.5，约束和不变，但是目标和变大。
同样相邻4个数不能够为0.5 0.5 2 2