不等式专家的一个猜想

数学星空

If $0<=a<=b$ and $a<=x_i<=b,i=1,2,...,n$, find the best $k_n$ such that
$x_1+x_2+x_3+....+x_n-n*\root{n}{x_1 x_2 x_3... x_n}<=(n-1)(b-a)^2/{b+k_n a}$

Can_hang 2007 猜想：$k_n={2n(n-1)}/m-1$ 且 $m=[n/2][(n+1)/2]$，$[x]$为不大于x的最大整数
她证明了: $k_3=k_4=5$; $k_5=k_6=17/2$; $k_7=k_8=6$

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现在的问题是请编程高手利用数值解算出$k_n (n=4,5,...,10)$来验证这位专家的猜想

mathe

这个不难，首先单独看每个变量，可以看出每个变量都只能取边界值才能取到最大值。
于是必然取u个a,n-u个b的时候才取到最大值
$ua+(n-u)b-na^{u/n}b^{{n-u}/n}$
为方便起见，记$a=A^n,b=B^n$,上式可以写成
$f(u)=n*B^n+(A^n-B^n)u-nB^n*(A/B)^u$
这个函数二阶导数小于0，为凹函数,所以在$f'(u)=0$时取到最大值
而题目中要求u为整数，也就是计算出$f'(u_0)=0$以后，取和$u_0$最接近的两个整数即可

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根据mathe的方法和思路:
我们可以得到:$u=$$[{n*ln((m-1)/ln(m))}/ln(m)]$ ,$[x]$为最接近x的整数
由 $f(u)=n*b+(a-b)*u-n*b*(a/b)^(u/n)<=(n-1)*(b-a)^2/{b+a*k_n}$
得到
  $k_n<={(m-1)*((n-1)*(m-1)-nt)-n*(1+m^t)}/{mn((m-1)t+(1-m^t))}$

其中: $m=a/b$, $t=ln((m-1)/ln(m))/ln(m)$
为了计算方便,这里近似的利用了$u=nt$

mathe

可以做变量替换$A^n=a/b$,于是$k_n$的上界可以写成关于A和u的函数，而且是A的有理分式。根据其中在边界A=0和A=1处的值可以得出$k_n$的上界为1,（也就是A=0,u=1时的值可以得到$k_n<=1$），所以感觉题目不对了。
至于更加精确的值还需要求函数关于A的导数的零点

mathe

A=0处的值算错了，应该总是无穷大。
倒是A=1处的值容易计算出来，好像为${2n(n-1)}/{u(n-u)}-1$
如果能够证明这个复杂的函数关于A是单调减的，那么上面的值就是最小值了。

wayne

左式是这样的吗：

$x_1+x_2+x_3+....+x_n-n*\root{n}{x_1 x_2 x_3... x_n}<=(n-1)(b-a)^2/{b+k_n a}$

mathe

应该如此

wayne

命题人估计是想找出AM-GM之差的最优估计，原命题变换为：

$1<=x_i<=m$

${x_1+x_2+x_3+....+x_n}/{n}-\root{n}{x_1 x_2 x_3... x_n}<={(n-1)(m-1)^2}/{n*(1+k_n*m)}$

mathe已经给出了不等式的最大值求法，不过，可以想象的到，最大值一定很不优美，于是命题人就想把这个不优美的最大值放大成一个好看一点的有理表达式

不过，我感觉命题人的这个形式也不是那么好看，在这里，我们大家都可以自由发挥的~~，呵呵

gxqcn

7# wayne

早上我看到这个主题帖，居然开1/n次方，那不等同于n次幂了吗？感觉怪怪的。
看来mathe已将其修改好了。