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[原创] 均分田地,田埂最短问题

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发表于 2010-11-11 16:36:16 | 显示全部楼层
感觉这个问题和原来的“灌水问题”都可以通过力学角度来分析,呵呵。
我觉得边界最短要满足的条件是:1、是直线或圆弧(直线也可以看成圆弧啦);2、在连接点上要相切的。
对于正方形分5分,可以下面的图也可能是一种分法。
1.JPG
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-11-12 11:37:54 | 显示全部楼层
按照9层根据力学的观点,我们可以把“田埂”看成在盒子里的“肥皂泡”。
“肥皂泡”总是趋向于能量最低的形态,及希望收缩到最短。

这些边界把田地分为不同的小块,每个小块对应于一个压强,当系统稳定,即总长度在局部呈现极值时,应满足:
1、相邻两块的压强差P=dT/dl=T/R,其中T是边界的“应力”,R是边界的曲率半径;(这个解释了为什么都是圆弧。)
2、在接点处受力平衡,由于所有的“肥皂泡”应力T都是恒定的,故在3分的连接点将均分360度,在边界点将垂直于盒子边(盒子边的应力是无穷大);
3、调整各块的P,相当于调整各块的面积S,也可以直接用S来算。

PS:9层中说的第2:在接点处相切是不对的,呵呵。
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发表于 2019-6-4 15:55:37 | 显示全部楼层
分析了mathe的了不起的结果。发现了一个规律,就是所有的类似于DC那样的分隔线(的延长线)也都垂直于边界。
深入一下想想,可以用“物理”方法“证明”。当然这个“证明”是属于马后炮啦。哈哈。
如胡子等人提到的泡泡模型,简化到平面中,可想象为单位圆被一些钢丝分为一些区域,当达到平衡时,应满足:
1、这些钢丝上的每个点的应力F的大小都是相同(相同根钢丝和不同根之间都相同);
2、每个区域有一个压强P,钢丝的曲率正比于其分割区域的压强差;
例如下图中对应的三块压强是相同的,所以对应部分的分割线也是相同的,可以认为右图是左图变化而来的。

benchi.png
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2019-6-4 16:54:00 | 显示全部楼层
单位圆
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22--
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43.94570296784# mathe
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正方形
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