无理数区间

yyy_fcz

实数域上是否存在一个长度大于0的闭区间A，任意a∈A,都有a为无理数？
如果有，请例举一个。
没有，怎么证明？

风云剑

没有
有理数可以任意的小。

sheng_jianguo

假如指的是一般意义下的闭区间，没有。证明如下：
对任意长度大于0的闭区间A=[a，b](a,b（a＜b）是两个有理数)，令r(n)表示无理数√2小数点后保留n位的有理数（如r(1)=1.4,r(2)=1.41,r(3)=1.414,…），那么，总存在n，使得a＜(a+b)/(2r(n))*√2＜b（因为√2/ r(n)当n充分大时趋于1），而显然(a+b)/(2r(n))*√2是无理数，(a+b)/(2r(n))*√2∈A。所以不存在这样的闭区间A。

mathe

其实就是有理数的稠密性

yyy_fcz

直观上看，不存在这样的纯无理数的区间。只是对“实数是一锅稠密的粥，无理数是汤，有理数是米”这种说法的一种猜想，看来对无限的概念不能用常规的思维来思考。

yyy_fcz

sheng_jianguo 是在证明没有纯有理数区间吧，我希望的是证明没有纯无理数区间。就是说，找一个当任意a,b为无理数（a<b）时，在[a,b]之间找到一个有理数的方法。

gxqcn

我来证明一下上面的命题（原创）。

任取一正整数 $D>1/(b-a)>0$，则 $Db-Da>b/(b-a)-a/(b-a)=1$，
故必存在一整数 $N$，使得 $Da<N<Db$（$Da,Db$显然均非整数点），继而 $a<N/D<b$，其中 $N/D$ 即为满足要求的有理数之一。

sheng_jianguo

sheng_jianguo 是在证明没有纯有理数区间吧，我希望的是证明没有纯无理数区间。
yyy_fcz 发表于 2011-1-13 21:24

不好意思题目看错，实际上证明没有纯无理数区间比证明没有纯有理数区间容易，楼上证明就是一个很好方法。

Buffalo

a<a+(b-a)*pi/4<b 是无理数

不好意思题目看错，实际上证明没有纯无理数区间比证明没有纯有理数区间容易，楼上证明就是一个很好方法。
sheng_jianguo 发表于 2011-1-14 08:37

sheng_jianguo

a<a+(b-a)*pi/4<b 是无理数
Buffalo 发表于 2011-1-14 14:36

我说的“证明没有纯无理数区间比证明没有纯有理数区间容易”是指在严格证明没有纯有理数区间时，要证明有无理数存在，比如√2，π是无理数。