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[提问] 此数列有公式吗

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发表于 2011-1-21 22:43:01 | 显示全部楼层 |阅读模式

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斐波那契数列指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、……   这个数列从第三项开始,每一项都等于前两项之和。它的通项公式为: 148f28d390c1b6333bf3cf08.jpg (又叫“比内公式”,是用无理数表示有理数的一个范例。)。
    有趣的是:这样一个完全是自然数的数列,通项公式居然是用无理数来表达的。
    我的问题是,请问:1,1,1,3,5,9,17……前三项为1,从第四项开始为前三项之和,这数列目前有通项公式了吗???
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2011-1-21 22:59:17 | 显示全部楼层
一个完全是自然数的数列,通项公式不但可以用无理数来表示,甚至可以用复数来表示。
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发表于 2011-1-21 23:18:18 | 显示全部楼层
像楼主的问题,$a_(n+3)=a_(n+2)+a_(n+1)+a_n$的数列通项,就可以用复数来表示。
设$x^3-x^2-x-1=0$的三个根为$x_1$,$x_2$,$x_3$,其中有两个根就是复数。
那么$a_n=k_1*x_1^n+k_2*x_2^n+k_3*x_3^n$
利用初始值$a_0=1,a_1=1,a_2=1$来解出$k_1,k_2,k_3$的值,就得到通项公式。
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发表于 2011-1-22 11:33:50 | 显示全部楼层
还是好人做到底吧,我用mathematica把求解结果的命令全弄出来了,不过求解结果很复杂,就不列出求解结果了!
  1. Clear["Global`*"](*清除所有变量*)
  2. y = Solve[x^3 - x^2 - x - 1 == 0](*求解方程的三个根*)
  3. x1 = x /. y[[1]](*第一个根*)
  4. x2 = x /. y[[2]](*第二个根*)
  5. x3 = x /. y[[3]](*第三个根*)
  6. eqn[n_] = k1*x1^n + k2*x2^n + k3*x3^n(*定义方程,不要使用延迟定义:=*)
  7. Solve[{eqn[0] == 1, eqn[1] == 1, eqn[2] == 1}, {k1, k2, k3}](*求解系数*)
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发表于 2011-1-22 11:36:54 | 显示全部楼层
不知道你要这个递归通项公式有什么用,其实我觉得只有理论价值,根本就没什么用。
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 楼主| 发表于 2011-1-23 02:00:04 | 显示全部楼层
我只是想找到求通项公式的方法罢了。结果对我没多大用的,只是知道了还可以求助于数学软件呀(我忘记这高科技了),原来公式中可以有复数呀,不可思议呀,可能是我太菜了吧
谢谢楼上的各位的讲解与帮助。
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 楼主| 发表于 2011-1-23 20:42:10 | 显示全部楼层
我发现3楼有个错误吧,你怎么知道,$a_0=1$
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发表于 2011-1-24 07:42:16 | 显示全部楼层
并没错。
数列可以定义首项为第0项,也可以定义为第1项的。
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 楼主| 发表于 2011-1-24 21:36:43 | 显示全部楼层
呀,看样子我连基本的常识与概念都还没弄懂呀。
看他那3楼的公式,斐波那契数列的第0项,第1项,第2项也是1,1,1呀,他怎么知道那公式是我那数列的呢。
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