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[原创] 存在非无心的8阶平方兼完美幻方

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发表于 2013-5-29 09:00:11 | 显示全部楼层 |阅读模式

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1992年,郭先强先生构造了大量的8阶平方兼完美幻方,发现都是无心幻方,于是问:
是否存在非无心的8阶平方兼完美幻方?
他猜想不存在,即8阶平方兼完美幻方必然是无心幻方

所谓无心,只是对4N阶幻方而言的。比如8阶,指幻方中任意两个坐标之差=(4,4)(mod 8)的格中两数之和等于65。
无心幻方必然是完美幻方。完美幻方不见得是无心幻方,存在非无心的完美幻方。
(完美幻方也被称为全对称幻方、泛对角线幻方)

郭先生的猜想于2001年公布,牛国良于2013年5月28日成功构造了一个反例:
232356118165145
44549236038257
25760389234454
514518163561232
72538602395444
455116186135322
322613516184551
54442393860725
并且随后发现存在大量非无心的8阶平方兼完美幻方。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2013-5-29 09:55:22 | 显示全部楼层
谢谢!

好久没玩幻方了,估计是我先前设计的特征搜索程序有点问题。
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发表于 2013-5-29 10:08:51 | 显示全部楼层
不知道是否存在纯素数的幻方,那一定更奇妙。
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 楼主| 发表于 2013-5-29 10:26:38 | 显示全部楼层
抱歉:
刚才检查了一下,有许多重复元素。因此我刚发的贴子是错误的。

可能程序判断重复元素的语句出问题了。
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 楼主| 发表于 2013-5-29 10:27:04 | 显示全部楼层
原来的问题还是没有解决。
朋友们还需努力。
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 楼主| 发表于 2013-6-2 14:34:01 | 显示全部楼层
我会继续努力,我会回来的。
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 楼主| 发表于 6 天前 | 显示全部楼层
我回来了。非无心的8阶平方兼完美幻方两例
129205855433816
514740145251860
454910362776422
313622441531234
82821635046359
544233114322361
445615373025719
266591748521339
------
143385855292016
543223114423361
442573730561519
315312244136234
84635635028219
512518145474060
457643627491022
265213174865939

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发表于 5 天前 | 显示全部楼层
niuhuang2003 发表于 2020-3-23 23:09
我回来了。非无心的8阶平方兼完美幻方两例

已经MM10检查完毕,两个都是正确的。
两个反例具有变换关系:行(26)(37)列(26)(37)

点评

感谢你对数据的检查,以及对帖子的完美编辑  发表于 前天 14:32

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发表于 4 天前 | 显示全部楼层
我现在的主页暂无法更新,等可以更新时,将把楼主的反例添上。
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发表于 前天 10:03 | 显示全部楼层

“无心幻方”的恰当名称

“所谓无心,只是对4N阶幻方而言的。比如8阶,指幻方中任意两个坐标之差=(4,4)(mod 8)的格中两数之和等于65。”

我没有追溯到这个“无心幻方”的定义和命名最早出自哪里。
在郭老板的主页上,貌似只有老板自己编制的幻方标明了“无心”性,其他人的没发现有。
莫不是郭老板独立特有的定义和命名?如果是的,那么这事就有机会商量一下。

“无心”应该是相对“有心”而言的。
而“有心”,貌似指幻方中处于中心对称的两格之和或者平方和之类为定值。
顾名思义,“无心”只是破(对称破缺),不含立。
然而我们现在所谓“无心幻方”虽然中心对称破缺,但定义却另有所“立”:对径格偶之和等于定值。
仅以“无心”谓之,不能反映其“”(定义)。
这就导致了“非无心幻方”又不是“有心幻方”,双重否定不复肯定的尴尬。

何谓“对径格偶”? 今以8阶幻方为例说明一下。
完美幻方又有人别称“卷筒幻方”或者“环面幻方”。
以环面拓扑观之,坐标之差 = (4, 4) (mod 8)的两格互为对径格。
“对径格”这一定义的合理性在于旋转和镜像变换下的唯一性:
对于完美幻方中的某一格 (x,y)(mod 8),  (x±a,y±b)(mod 8)和(x±b,y±a)(mod 8)一般是镜像和旋转变换下的8个对称格。
除了 a=b=0, 只有在 a=b=4 时,8格合一。

命名当反映所立定义,故此建议将“无心幻方”更名为“对径幻方”。
完美四阶幻方都是“对径幻方”。
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