定积分x/(e^x+1)

fungarwai

$ \int_0^{+\infty} \frac{x}{e^x+1} dx$

kastin

记
$$A=\int_0^{+\infty} \frac{x}{\text{e}^x-1} \dif x,\quad B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{\text{e}^x+1} \dif x$$
那么有
$$\eqalign{B=\int_0^{+\infty} \frac{x}{\text{e}^x+1} \dif x &= \int_0^{+\infty} \frac{x(\text{e}^x-1)}{\text{e}^{2x}-1} \dif x  \\
&= \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{2x\text{e}^x}{\text{e}^{2x}-1} \dif x-\int_0^{+\infty} \frac{x}{\text{e}^{2x}+1} \dif x \\
&= \frac{1}{2}\int_0^{+\infty} \frac{2x\text{e}^x}{\text{e}^{2x}-1} \dif x-\frac{1}{4}A}$$
而
$$\eqalign{A+B &= \int_0^{+\infty} \frac{x}{\text{e}^x+1} \dif x + \int_0^{+\infty} \frac{x}{\text{e}^x-1} \dif x\\
&= \int_0^{+\infty} \frac{2x\text{e}^x}{\text{e}^{2x}-1} \dif x}$$
所以我们得到
$$B=\frac{1}{2}(A+B)-\frac{1}{4}A$$
即
$$B=\frac{1}{2}A$$
显然，`A`这个积分式子很眼熟，里面的被积函数就是伯努利数`B_n`的母函数，而黎曼函数跟它是有密切关系的。因为黎曼函数`\zeta(s)`的积分形式是
$$\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_0^{+\infty} \frac{x^{s-1}}{\text{e}^x-1} \dif x$$
其中`\text{Re}(s)>1`，`\Gamma(x)`是Gamma函数。
于是
$$A=\zeta(2)\Gamma(2)=\zeta(2)\cdot(1\times1)=\zeta(2)$$
根据zeta函数的级数定义，`\zeta(2)`就是我们熟悉的那个被欧拉用巧妙方法求出自然数倒数平方和的级数
$$A=\zeta(2)=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$
因此`\D B=\frac{A}{2}=\frac{\pi^2}{12}`