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[求助] 求方程y^2=x^3+7的有理解

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发表于 2016-6-29 10:39:49 | 显示全部楼层 |阅读模式

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x
或证明其无解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-6-29 12:19:24 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2016-6-29 12:21 编辑

初步判断x的尾数只能是2、3、4、7、8、9。进一步推断可知x尾数不可能为2、4、7、8。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-6-29 14:11:27 | 显示全部楼层
既没有整数解,也没有有理数解。
一个无整数解但是有无限多个有理数解的例子:y^2=x^3+46没有整数解,但是有无限多个有理数解,比如(−7/4, 51/8)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-6-29 16:04:42 | 显示全部楼层
本帖最后由 qianyb 于 2016-6-29 16:06 编辑

变换式子 $y^2-x^3=7$
设 $x^3=b^2,$则$ y^2-b^2=7$
因为7为素数,所以只有平凡解,y=4,b=3
$x^3=b^2=3^2,$
$x=3^(2/3)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-6-29 18:36:51 | 显示全部楼层
qianyb 发表于 2016-6-29 16:04
变换式子 $y^2-x^3=7$
设 $x^3=b^2,$则$ y^2-b^2=7$
因为7为素数,所以只有平凡解,y=4,b=3

你这个解是无理数,不是我想要的啊。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2016-6-29 18:37:48 | 显示全部楼层
lsr314 发表于 2016-6-29 14:11
既没有整数解,也没有有理数解。
一个无整数解但是有无限多个有理数解的例子:y^2=x^3+46没有整数解,但是 ...


求教证明,没有整数解容易证明,就是不知道有理数解怎么证。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-6-30 14:02:25 | 显示全部楼层
好地方 发表于 2016-6-29 18:36
你这个解是无理数,不是我想要的啊。

这是唯一解,解是无理数,当然没有有理数解了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2016-6-30 14:22:26 | 显示全部楼层
qianyb 发表于 2016-6-30 14:02
这是唯一解,解是无理数,当然没有有理数解了

有没有搞错?这是一条连续曲线,上面有无数的实数点都是解。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2016-6-30 15:37:56 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2016-6-30 17:20 编辑

\(y^2+1=x^3+2^3,当y为奇数时,x必为偶数,不妨令y=2t+1,\\则y^2+1=4t^2+4t+2,可知y^2+1除以4结果余2,而x^3+2^3必是8的倍数,等式左右矛盾\\故x不可能是偶数,排除x的尾数是2、4、8的情况。\\x为奇数,则y必为偶数,可知y^2+1除以4结果余1\\令x=2k+1,则x^3+2^3=(2k+1)^3+8=(8k^3+12k^2+8)+6k+1除以4也应余1,\\故k为偶数,即x=4p+1。\\x^3+8=(4p+1)^3+8=(16p^2+3)(4p+3)\)
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发表于 2016-7-3 13:18:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 aimisiyou 于 2016-7-3 13:37 编辑

\(即令y=2t,x=4p+1。\\y^2+1=4t^2+1=x^3+8=(4p+1)^3+8=64p^3+48p^2+12p+9,\\故t^2-2=p(16p^2+12p+3),故t,p为同奇或同偶.  ....\)
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