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[求助] 1到n之间的素数比n到2n之间 的素数多多少

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发表于 2018-7-6 11:46:19 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 kte 于 2018-7-6 11:56 编辑

即$\pi(n)-(\pi(2n)-\pi(n))
=\2pi(n)-\pi(2n)$

可否用一函数表示
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-7-6 13:19:47 | 显示全部楼层
60万有49,098 个,120万有92,938 个.则49,098 -(92,938-49,098 )=5258个
我认为1到n之间的素数比n到2n之间 的素数大体多2n/(ln(2n))^2 个
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发表于 2018-7-6 13:45:16 | 显示全部楼层
针对n=60万,再把误差缩小一点
Li((2n)^0.5)*(ln(Li((2n)^0.5)))^2
稍后,找几个大一点的数验证一下,有些结果在数据很小时,比较符合,但数据一大,结论马上就不成立了
素数之差.gif
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发表于 2018-7-6 13:47:54 | 显示全部楼层
Liemann猜想给出对于充分大的x有$|pi(x)-\li(x)|<1/{8\pi}\sqrt(x)\ln(x)$
所以$|pi(2x)-\li(2x)|<1/{8\pi}\sqrt{2x}\ln(2x)$
所以$|(2pi(x)-pi(2x))-(2\li(x)-\li(2x))|<1/{4\pi}\sqrt(x)\ln(x)+1/{8\pi}\sqrt{2x}\ln(2x)$
估算可以知道,$2pi(x)-pi(2x)=\frac{(2\ln2) x}{\ln^2(x)}+O(\frac{x}{\ln^3(x)})$,但是精度显然没有用$\li(x)$高
其中$li(x)=Li(x)+li(2)$,而$li(2)= 1.045163 780117 492784 8...$
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发表于 2018-7-6 14:32:23 | 显示全部楼层
在充分大的x,mathe说的是对的
素数一直在减少,可是误差一直在增大,给人的感觉是素数在增多.但素数一直在减少才对
李特伍德说:π(x)大于li(x),这个误差也不那么精确了
在没有找到反例之前,暂且相信黎曼的对
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 楼主| 发表于 2018-7-6 18:54:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 kte 于 2018-7-6 21:03 编辑

再问一个问题,n以内的素数含量总比n至2n内的素数含量多,试问这里的系数2是否可以取得稍大一点,使得两端素数含量一样多。再者,是否可以减小n的系数,使得$1~\lambda n$的素数含量,和$\lambda n~2n$的素数含量一样多。

前者写成方程就是   $ 2\pi(n)=\pi(\lambda n)$  ,求解$\lambda$


mathematica 简单试算了一下,$\lambda=2.054235$,这里n取10^12


试问,1.  当n充分大时,$\lambda$ 的极限是多少


          2. 当n充分大时,$\frac{ 2\pi(n)}{pi(2n)}$的极限是多少
   

点评

肯定比1.02要小很多很多,只是你验证的数太小  发表于 2018-7-7 11:09
kte
n = 10^14; 2 PrimePi[ n]/PrimePi[2 n] // N=1.02224,也许比1.02小,但不能再小了  发表于 2018-7-7 09:02
无穷大不对,2π(n)/π(2n) 的极限是1  发表于 2018-7-6 21:14
$\infty$  发表于 2018-7-6 20:33
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2018-7-6 20:31:37 | 显示全部楼层
你再取n=10^13,n=10^14,...
再算三五个数,与λ=2.054235 相比,是增大,减少一目了然
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发表于 2018-7-6 20:45:52 | 显示全部楼层
当n=60万代入,求得1273957/600000=2.12326166,
那么当n趋近于正无穷大时,λ 的极限是2,虽然是矛盾的,这是数学上的怪论
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 楼主| 发表于 2018-7-7 09:05:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 kte 于 2018-7-7 09:46 编辑

PrimePi[10^15] 是多少,由于数字太大,mathematica无法计算,对于更大的数,求n以内的素数个数算法是怎样的,怎样另写程序
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发表于 2018-7-7 11:07:39 | 显示全部楼层
网上搜得到的,你也可以看看我发的素数分布
PrimePi[10^15]=29844570422669
但是2*10^15数据我没有
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