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[提问] “双级数值计算”方法

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发表于 2018-9-9 13:14:31 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 shufubisheng 于 2018-9-9 13:21 编辑

(1)还是以证明f(x)=(1+1/x)^x+(1+x)^(1/x)≤4为例,来说明“双级数值计算”方法。

(2)函数级数值计算:
        取x=0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1,经数值计算得,f(x)≤4。

(3)导数级数值计算:
        先求出f′(x),再取x=0、0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8、0.9、1,经数值计算得,f′(x)≥0。

(4)有了以上“双级保险”,证明f(x)≤4就有了保障。

(5)欢迎各位提出反例。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-9-9 14:36:39 | 显示全部楼层
$f(x)=sin(20\pi x)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-9 14:43:26 | 显示全部楼层

这是何意?

点评

反例  发表于 2018-9-9 16:32
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-9 16:50:57 | 显示全部楼层

你这不是反例,是无理。

点评

那就把“欢迎各位提出反例”去掉即可,然后你自我陶醉,没人会打扰你~  发表于 2018-9-9 16:58
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-9-9 17:18:04 | 显示全部楼层

你不懂反例,但会有专家精通反例。

点评

对,你说的都对,你就是专家,我不懂,你什么都懂,行了吧?  发表于 2018-9-10 11:11
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 3 天前 | 显示全部楼层
数值计算证明函数的上下界不能随心所欲,而是同样需要有理论支持。
定理一. 如果对于[a,b]上连续可微函数f(x),如果存在常数M使得$|f'(x)|<M$,那么我们选择$x_0=a, x_1=a+e/M,x_2=a+{2e}/M,....,x_t=a+{\floor({(b-a)M}/e)e}/M$
那么如果我们计算得知存在H使得$f(x_0)<=H,f(x_1)<=H,...,f(x_t)<=H$,那么容易证明对于任意$x\in [a,b], f(x)<=H+e$
证明很简单,基于集合${x_0,x_1,...,x_t}$的选择,所以对于任意的$t\in [a,b]$,必然存在某个$x_i$使得$|t-x_i|<e/M$,又因为$|f'(x)|<M$对于所有的x成立
所以我们根据中值定理有$|f(t)-f(x_i)|=|f'(\epsilon)(t-x_i)|<M*e/M=e$,所以$f(t)<e+f(x_i)<=e+H$

点评

拉格朗日中值定理应该是在开区间(a,b)上成立,端点处单独考虑。  发表于 3 天前
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发表于 3 天前 | 显示全部楼层
而切换到本题中,由于函数f(x)在x=0附近导函数无界,所以这部分不能使用上面的定理来证明,但是我们知道$\lim_{x->0} (1+x)^(1/x)=e$,所以可以数值计算对使得$(1+1/x)^x<4-e$成立的x可以覆盖x=0的邻域,比如链接10#中第一步其实就是用这个方法证明对于$0<x<1/9.4571968331467687581968692399246678802$不等式成立,而后面继续迭代可以覆盖到$0<x<1/2$等更大的范围。
而另外由于$f(1)=4$可以取到最值4,所以对于x=1附近的邻域也不能使用上面的定理来证明,但是由于$f'(1)=0$,我们只要能够证明$f''(x)<0$在这个领域里面永远成立既可以说明在这个领域里面最大值是4.
而$f''(1)=4\ln^2(2)-2=-0.078$,我们这时可以对$f''(x)$采用上面的定理1来验证$f''(x)<0$即可,比如可以选择$H=-0.05,e=0.05$即可,当然前提条件是我们得先估算$|f'''(x)|$的上界,而这里的上界分析不需要很精确,但是不同通过数值验算而必须严格推导出一个上界。
比如链接24#中给出粗糙估计,在区间$[1/2,2]$中$|f'(x)|<40$,然后就可以利用定理一,将这个区间中取出x=1的一个邻域内证明不等式成立。由于事实上这个区间$f''(x)<0$都成立,我们可以直接全部交给后面部分证明。而且另外由于对称性,实际上我们只要证明区间$[1/2,1]$部分即可,这会使得后面部分的计算更加容易

链接27#中给出粗糙估计$|f'''(x)|<841<1000$,由于e=0.05,所以我们需要采样计算使得相邻样本点间隔不超过$10^-5$进行数值计算$f''(x)<-0.05$就可以证明在区间$[1/2,1]$上有$f''(x)<0$恒成立
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 楼主| 发表于 3 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-17 07:49
数值计算证明函数的上下界不能随心所欲,而是同样需要有理论支持。
定理一. 如果对于[a,b]上连续可微函数f ...

管理员能否提供“定理一”的资料介绍?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 3 天前 | 显示全部楼层
mathe 发表于 2018-9-17 08:07
而切换到本题中,由于函数f(x)在x=0附近导函数无界,所以这部分不能使用上面的定理来证明,但是我们知道$\l ...

看来数值计算证明法、其关键在于精度要保证。
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