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[求助] 不定方程$x^2-a*y^2=p$求解

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发表于 2018-9-12 22:09:32 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 kte 于 2018-9-12 22:43 编辑

$x^2+ay^2=p$,$p$是素数,该类型不定方程的求解可使用如下算法

先求$t^2=-a (mod p)$,其中$t<p/2$


然后计算连分数$t/p=[a_0,a_1,a_2,...,a_s]$

要求$q_n<\sqrt{p}                     q_{n+1}>\sqrt{p}$

$(t*q_n-p*p_n)+a*q_n^2=p$

即为解

举例  $x^2+29y^2=1997$

$574^2=-29 (mod  1997)$

$\sqrt{1997}=44.6878$

$574/1997=[0, 3, 2, 11, 2, 5, 2]$

$p_n/q_n=[0,3,2]=2/7$                        $p_{n+1}/q_{n+1}=23/80$

$(574*7 - 1997*2=24)^2+29*7^2=1997$



在计算$x^2-a*y^2=p$的时候,如法炮制,却多出一个负因子,错在哪里,求正确解法

  $x^2-29y^2=1997$

$842^2=29(mod 1997)$

$842/1997=[0, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 2, 4]$


$8/19=[0, 2, 2, 1, 2]$                    $35/83=[0, 2, 2, 1, 2, 4]$

$(842*19-1997*8=22)^2-29*19^2=-1997*5$






毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
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