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[求助] 求 k 的最小解

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发表于 2018-10-6 12:07:41 | 显示全部楼层 |阅读模式

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限定a、b、k都是整数,求满足下面两式的 k 值(如果有的话):

a^2=(2*k+1)^2         +(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2
b^2=(2*k^2+2*k)^2+(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-10-6 17:22:51 | 显示全部楼层
本帖最后由 王守恩 于 2018-10-6 17:35 编辑

我来试试,大家批评。
1,\(a至少得有(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k+1)\)
\(a^2-(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2\)
\(=(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k+1)^2-(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2\)
\(=2*(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)+1>(2*k+1)^2\)  (不合理)
2,\(b至少得有(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k+1)\)
\(b^2-(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2\)
\(=(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k+1)^2-(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2\)
\(=2*(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)+1>(2*k^2+2*k)^2\)  (不合理)   
3,\(2*(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)+1=(2*k^2+2*k)^2 + (2 *k + 1)^2\)
4,我们有:\((2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k+1)^2\)
\(=(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2+(2*k^2+2*k)^2 + (2 *k + 1)^2\)
5,活泼一点:\((2*k^4-4*k^3+4*k^2-2*k+1)^2\)
\(=(2*k^4-4*k^3+4*k^2-2*k)^2+(2*k^2-2*k)^2 + (2 *k -1)^2\)
谢谢 science123!出了道好题!挺不容易的!

点评

我先批评一个: 1、k=-2时,25>9(有什么不合理?)  发表于 2018-10-7 23:23
a^2=(2*k+1)^2 +(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2 b^2=(2*k^2+2*k)^2+(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2  发表于 2018-10-6 21:50
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-10-6 22:56:28 | 显示全部楼层
本帖最后由 science123 于 2018-10-7 03:12 编辑

可以再活泼一点:
表达式【1】
(2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k)^2+(2*k^2+2*k)^2+(2*k+1)^2
= (2*k^4+4*k^3+4*k^2+2*k+1)^2
表达式【2】
(2*k^4 -4*k^3+4*k^2 -2*k)^2+(2*k^2 -2*k)^2+(2*k -1)^2
= (2*k^4-4*k^3+4*k^2-2*k+1)^2
表达式【3】
(2*k^4 -4*k^3+4*k^2+2*k)^2+(2*k^2-2*k)^2+(2*k+1)^2
= (2*k^4-4*k^3+4*k^2+2*k+1)^2
表达式【4】
(2*k^4+4*k^3+4*k^2-2*k)^2+(2*k^2+2*k)^2+(2*k -1)^2
= (2*k^4+4*k^3+4*k^2-2*k+1)^2

点评

漂亮!我们称这样的算式叫 ‘3=1’,还可以短一点吗?  发表于 2018-10-7 10:59
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2018-10-7 12:17:15 | 显示全部楼层
(5*m^2-4*m*n+n^2)^2 = (3*m^2-4*m*n+n^2)^2 + (4*m^2-2*m*n)^2
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2018-10-7 20:29:48 | 显示全部楼层
science123 发表于 2018-10-7 12:17
(5*m^2-4*m*n+n^2)^2 = (3*m^2-4*m*n+n^2)^2 + (4*m^2-2*m*n)^2


\((5m^2+4mn+n^2)^2 = (3m^2+4mn+n^2)^2 + (4m^2+2mn)^2\)

\((5m^2-6mn+2n^2)^2 = (4m^2-6mn+2n^2)^2 + (3m^2-2mn)^2\)

\((13m^2+6mn+n^2)^2 = (5m^2+6mn+n^2)^2 + (12m^2+4mn)^2\)

\((17m^2-8mn+n^2)^2 = (15m^2-8mn+n^2)^2 + (8m^2-2mn)^2\)

\((37m^2+12mn+n^2)^2 = (35m^2+12mn+n^2)^2 + (12m^2+2mn)^2\)

\((29m^2-14mn+2n^2)^2 = (20m^2-14mn+2n^2)^2 + (21m^2-6mn)^2\)

\((73m^2+22mn+2n^2)^2 = (48m^2+22mn+2n^2)^2 + (55m^2+10mn)^2\)
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