过三角形内一点与三角形两个顶点作圆，求半径之和的最小值

mathe

35#的结论可证了。大致情况是这样的：
P在多边形内部时，P和各顶点连线把初始多边形的相应内角分为两部分，这2n个角度集合记为S。
不同阶段的迭代多边形，各顶点与P的连线亦将该多边形的各内角分为两部分，相应2n个角度的集合不变，仍然为S，只是两两组合不同，并有简单的规律：均分两组循环相配。
n个符号的简单循环，周期自然是n.

如31#的评论所言，P于多边形各边的镜像点可以由P点在各边上的投影来代替，这只不过将诸镜像点构成的多边形以P为位似中心缩小了一半。
引理：如图，P为角ABC内一点，E、F为P在两边上的投影（ `\theta=\pi/2`)，显然B、E、P、F四点共圆，故有图中标示的两组等角B1和B2（角B的两部分）。

对于一个凸多边`V_1V_2...V_i...V_n`, 假定其内角`\angle V_i`被连线`PV_i`分为`V_{i,1}+V_{i,2}`, 假定P在边`V_iV_{i+1}`的投影为`V_i^1`。
记`S_1=\{V_{i,1}\}, S_2=\{V_{i,2}\},S=S_1\cup S_2`
上述下标按`\pmod n`理解。
按引理有：`\angle PV_{i-1}^1V_i^1=V_{i2},\angle PV_i^1V_{i-1}^1=V_{i1},\angle V_{i-1}^1V_i^1V_{i+1}^1=V_{i,1}+V_{i+1,2}`
可见经过一次投影，所得多边形`V_1^1\cdots V_i^1\cdots V_n^1`的内角的分割组合变成了\[\angle V_i^1=V_{i,1}+V_{i+1,2}\]与\[\angle V_i=V_{i,1}+V_{i,2}\]相比仍然是`S_1+S_2`，当把`S_1,S_2`看作有序的表时，按表的运算规则应该是\[S_1+\text{RotationLeft}(S_2)\]
依此类推，`k`次迭代的投影多边形`V_1^k\cdots V_i^k\cdots V_n^k`的内角的分割组合变成了\[\angle V_i^k=V_{i,1}+V_{i+k,2}\]当`k=n`时，内角的分割组合就变回了`\angle V_i^n=V_{i,1}+V_{i,2}`，多边形就变回了初始的形状。

mathe

显然，楼上的图中的角度`\theta`不等于`\pi/2`时，仍有四点共圆，引理依然成立，后续的证明依然有效。
如图每次射线和边夹角都是60度，同样能够三次映射后得到相似的三角形。

hujunhua

mathe 发表于 2019-2-6 22:18
35#的结论可证了。大致情况是这样的：
P在多边形内部时，P和各顶点连线把初始多边形的相应内角为两部分， ...

这个引理的成立范围值得关注。

P是否要限于角内，角是否可以超过180度？

即使初始多边形是凸的，只要`S_1,S_2`中各有1个钝角，在循环相配中，就不免中途出现凹多边形，继续下去引理如何成立就是问题。

mathe

数值计算显示没有范围限制，但是严格证明好像挺复杂

dlpg070

mathe 发表于 2019-2-1 11:43
试着作图，结果发现，满足条件的总共就只有两个解而不是四个解，内部一个，外部也一个

如果给定三角形AB ...

mathe 17# 计算和分析都正确
          我的演示与他的计算一致，我补充了P2,P3
          可以验证一下我的P0,P1,P2,P3   
19#以前ksr314,mathe的分析很精辟，但19#结论为何变了?         
mathe 19#:试着作图，结果发现，满足条件的总共就只有两个解而不是四个解，内部一个，外部也一个
ksr314 19#点评：好像确实如此，不管三角形形状如何，极值点最多只有2个
设平面上任意一点p={x,y} 对应的三个半径和为 h[x,y]
研究了等边，等腰和任意三角形，这里以mathe circles.png为例再现

画出全平面的地形图，可以直观的了解h的全平面的分布，极小值的个数和h的大小

mathe

看三边长分别为5,5,8的三角形内一点P,对应三个三角形外接圆直径之和的图。
可以看到的确对于大部分的和会有四个区域（对应四个锥形图），但是最小值不同，我们只看到一大一小两个可以取到最小值。另外两个小的被大的完全包含了

dlpg070

下面进行演示和测算
以17#等腰三角形（5：5:9}为例
为了全面演示，图形坐标改变如下
图片 w=1200 h=1200
三角形顶点坐标A:{253.,651.} B:{753.,651.} C:{503.,772.}
P0:{503.,787.} P1:{501.,513.5} (按原图估算)
三角形三边长 a=277.743 b=277.743 c=500. 坐标值放大： 500/9

编制一个人机交互演示工具
采用瞎子登山（此处为探洞）方法容易得到 4个极小值点
P0 原 {503.,787.}   我测 {502,818 }  h=604.782
P1 原 {501.,513.5}  我测 {502,470 }  h=606.047
P2                  我测 {254,662 }  h=736.821
P3                  我测 {754,658 }  h=723.681 在低谷区底部
P0 P1 与Mathe的计算基本相符
我的工具以演示为主，定位误差较大，约4个点， 4/1200= 0.0033
P2 P3 没有参照数据，是否正确？
显然
P0 P1 的 h较小，大致相等，我无法判断哪个大些
P2 P3 的 h较大，大致相等，我无法判断哪个大些   

下面给出 P0P1P2P3的三个圆图像

dlpg070

mathe 发表于 2019-2-28 09:21
看三边长分别为5,5,8的三角形内一点P,对应三个三角形外接圆直径之和的图。
可以看到的确对于大部分的和 ...

46# 提出 5，5，8的等腰三角形的例子，
我进行了计算和演示，结果和5,5,9相比，基本一样，有4个极小值点，不同的是(558)P0在三角形内部，(559)P0在三角形外部，
等腰558 基本数据：
图片 w=1200 h=1200
三角形顶点坐标A:{300.,650.} B:{700.,650.} C:{500.,800.}
三角形三边长 a=250. b=250. c=400.
三角形外心的3半径和  h=632.44
三角形外接圆上各点半径和  h=625.

测得
P0={498,774} (* h= 519.168 * 在三角形内部)
P1={498,514} (* h= 517.386 *)
P2={298, 658} (* h= 552.598 在三角形外部，靠近A *)
P3={702,658}  (* h= 552.598 在三角形外部，靠近B *)
证实P2 P3确实存在
数据表明:
(559)和(556)两种情况P2 P3的h大于 P0P1的h
如果求全平面的最小值，只能是（P0 ，P1）之一
其它三角形需要再分析.
但等腰三角形极小值确有4个（角C=13.3663...除外），不是2个

为了研究P2，P3的特点，给出相关直观图像





补充内容 (2019-3-2 09:18):
（角C=13.3663...除外） 笔误
应为 （角C=113.3663...除外）

dlpg070

dlpg070 发表于 2019-3-1 09:29
46# 提出 5，5，8的等腰三角形的例子，
我进行了计算和演示，结果和5,5,9相比，基本一样，有4个极小值点 ...

最后看一个等腰三角形的特例---等边三角形
等边三角形(444)
基本数据：
图片 w=1200 h=1200 m=100 hMax=10000
三角形顶点坐标A:{300.,650.} B:{700.,650.} C:{500.,996.41}
三角形关键顶点坐标P0:{502,818} P1:{502,470} oE:{500.,765.47}
三角形三边长 a=400. b=400. c=400.
计算得
三角形外心的3半径和  h=692.82
三角形三顶点的半径和  hA=630.94 hB=630.94 hC=630.94 rE=230.94
三角形外接圆上各点半径和  h=692.82
测试结果：
P0={502,766} h=692.891
P1={498,534} h=692.825 (外接圆上任意点，A B C 除外)
结论: 对于等边三角形，外心和外接圆上任意点(A B C 除外)无穷多个最小值点 h值都是最小

可以预料，如果等腰三角形角C小于60°，则 极小值点4个，最小值点将是 P2 ，P3 （2个最小值点），不是P0或P1